Teorema de estadística de espín

Teorema de la mecánica cuántica

El teorema de estadística de espín demuestra que la relación observada entre el espín intrínseco de una partícula ( momento angular no debido al movimiento orbital) y las estadísticas de partículas cuánticas de conjuntos de tales partículas es una consecuencia de las matemáticas de la mecánica cuántica . En unidades de la constante de Planck reducida ħ , todas las partículas que se mueven en 3 dimensiones tienen espín entero y obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein o espín medio entero y obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac . ^{[1] [2]}

Conexión entre estadísticas de espín

Todas las partículas conocidas obedecen a la estadística de Fermi-Dirac o a la estadística de Bose-Einstein. El espín intrínseco de una partícula siempre predice la estadística de un conjunto de dichas partículas y, a la inversa: ^[3]

• Las partículas de espín integral son bosones con estadística de Bose-Einstein,
• Las partículas de espín semiintegral son fermiones con estadísticas de Fermi-Dirac.

Un teorema de estadística de espín muestra que la lógica matemática de la mecánica cuántica predice o explica este resultado físico. ^[4]

La estadística de partículas indistinguibles es uno de los efectos físicos más fundamentales. El principio de exclusión de Pauli  –que establece que cada estado cuántico ocupado contiene como máximo un fermión– controla la formación de la materia. Los componentes básicos de la materia, como los protones , los neutrones y los electrones , son todos fermiones. Por el contrario, partículas como el fotón , que median las fuerzas entre partículas de materia, son todos bosones. ^{[ cita requerida ]} Un teorema de estadística de espín intenta explicar el origen de esta dicotomía fundamental. ^{[5] : 4}

Fondo

De manera ingenua, el espín, una propiedad del momento angular intrínseca a una partícula, no estaría relacionada con las propiedades fundamentales de un conjunto de tales partículas. Sin embargo, se trata de partículas indistinguibles: cualquier predicción física que relacione múltiples partículas indistinguibles no debe cambiar cuando las partículas se intercambian.

Estados cuánticos y partículas indistinguibles

En un sistema cuántico, un estado físico se describe mediante un vector de estado . Un par de vectores de estado distintos son físicamente equivalentes si difieren solo en un factor de fase general, ignorando otras interacciones. Un par de partículas indistinguibles como esta tienen solo un estado. Esto significa que si se intercambian las posiciones de las partículas (es decir, experimentan una permutación), esto no identifica un nuevo estado físico, sino uno que coincide con el estado físico original. De hecho, no se puede saber qué partícula está en qué posición.

Si bien el estado físico no cambia con el intercambio de posiciones de las partículas, es posible que el vector de estado cambie de signo como resultado de un intercambio. Dado que este cambio de signo es solo una fase general, esto no afecta el estado físico.

El ingrediente esencial para demostrar la relación entre la estadística de espín y la relatividad es que las leyes físicas no cambian bajo las transformaciones de Lorentz . Los operadores de campo se transforman bajo las transformaciones de Lorentz según el espín de la partícula que crean, por definición.

Además, la suposición (conocida como microcausalidad) de que los campos separados de manera espacial conmutan o se anticonmutan solo se puede hacer para teorías relativistas con una dirección temporal. De lo contrario, la noción de ser similar al espacio carece de sentido. Sin embargo, la prueba implica observar una versión euclidiana del espacio-tiempo, en la que la dirección temporal se trata como una dirección espacial, como se explicará a continuación.

Las transformaciones de Lorentz incluyen rotaciones tridimensionales y aumentos . Un aumento se transfiere a un marco de referencia con una velocidad diferente y es matemáticamente como una rotación en el tiempo. Mediante la continuación analítica de las funciones de correlación de una teoría cuántica de campos, la coordenada temporal puede volverse imaginaria y luego los aumentos se convierten en rotaciones. El nuevo "espacio-tiempo" tiene solo direcciones espaciales y se denomina euclidiano .

Simetría de intercambio o simetría de permutación

Los bosones son partículas cuya función de onda es simétrica en un intercambio o permutación de este tipo, por lo que si intercambiamos las partículas, la función de onda no cambia. Los fermiones son partículas cuya función de onda es antisimétrica, por lo que en un intercambio de este tipo la función de onda adquiere un signo negativo, lo que significa que la amplitud para que dos fermiones idénticos ocupen el mismo estado debe ser cero. Este es el principio de exclusión de Pauli : dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado. Esta regla no se cumple para los bosones.

En la teoría cuántica de campos, un estado o una función de onda se describe mediante operadores de campo que operan en un estado básico llamado vacío . Para que los operadores proyecten el componente simétrico o antisimétrico de la función de onda en creación, deben tener la ley de conmutación adecuada. El operador

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

(con un operador y una función numérica con valores complejos) crea un estado de dos partículas con función de onda y, dependiendo de las propiedades de conmutación de los campos, solo importan las partes antisimétricas o las partes simétricas. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$

Supongamos que y los dos operadores tienen lugar al mismo tiempo; más generalmente, pueden tener una separación espacial , como se explica a continuación. ${\displaystyle x\neq y}$

Si los campos conmutan , lo que significa que se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}$

entonces sólo la parte simétrica de contribuye, de modo que , y el campo creará partículas bosónicas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$

Por otro lado, si los campos son anti-conmutativos , es decir, que tienen la propiedad de que ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

entonces sólo contribuye la parte antisimétrica de, de modo que , y las partículas serán fermiónicas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$

Pruebas

No se puede dar una explicación elemental del teorema de la estadística de espín a pesar de que el teorema es tan simple de enunciar. En las Feynman Lectures on Physics, Richard Feynman dijo que esto probablemente significa que no tenemos una comprensión completa del principio fundamental involucrado. ^[3]

Se han publicado numerosas pruebas notables, con diferentes tipos de limitaciones y suposiciones. Todas son "pruebas negativas", lo que significa que establecen que los campos de espín integrales no pueden dar como resultado estadísticas de fermiones, mientras que los campos de espín semientegrales no pueden dar como resultado estadísticas de bosones. ^{[5] : 487}

Las pruebas que evitan el uso de cualquier mecanismo de la teoría cuántica de campos relativista tienen defectos. Muchas de estas pruebas se basan en la afirmación de que donde el operador permuta las coordenadas. Sin embargo, el valor del lado izquierdo representa la probabilidad de la partícula 1 en , la partícula 2 en , y así sucesivamente, y por lo tanto es inválida desde el punto de vista de la mecánica cuántica para partículas indistinguibles. ^{[6] : 567} $${\displaystyle |\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2},}$$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

La primera prueba fue formulada ^[7] en 1939 por Markus Fierz , un estudiante de Wolfgang Pauli , y fue derivada de manera más sistemática por Pauli al año siguiente. ^[8] En un resumen posterior, Pauli enumeró tres postulados dentro de la teoría cuántica de campos relativista como necesarios para estas versiones del teorema:

1. Cualquier estado con ocupación de partículas tiene mayor energía que el estado de vacío .
2. Las mediciones separadas espacialmente no se perturban entre sí (conmutan).
3. Las probabilidades físicas son positivas (la métrica del espacio de Hilbert es positiva-definida).

Su análisis no tuvo en cuenta las interacciones de partículas distintas de la conmutación/anticonmutación del estado. ^{[9] [5] : 374}

En 1949, Richard Feynman dio un tipo de prueba completamente diferente ^[10] basada en la polarización del vacío , que luego fue criticada por Pauli. ^{[9] [5] : 368} Pauli demostró que la prueba de Feynman se basó explícitamente en los dos primeros postulados que utilizó y utilizó implícitamente el tercero al permitir primero probabilidades negativas pero luego rechazar los resultados de la teoría de campos con probabilidades mayores que uno.

Una prueba de Julian Schwinger en 1950 basada en la invariancia de inversión temporal ^[11] siguió a una prueba de Frederik Belinfante en 1940 basada en la invariancia de conjugación de carga, lo que llevó a una conexión con el teorema CPT desarrollado más completamente por Pauli en 1955. ^[12] Estas pruebas fueron notablemente difíciles de seguir. ^{[5] : 393}

El trabajo sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica de Arthur Wightman condujo a un teorema que establecía que el valor esperado del producto de dos campos, , podía continuarse analíticamente para todas las separaciones . ^{[5] : 425} (Los dos primeros postulados de las pruebas de la era de Pauli involucran el estado de vacío y los campos en ubicaciones separadas). El nuevo resultado permitió pruebas más rigurosas de los teoremas de espín-estadística por Gerhart Luders y Bruno Zumino ^[13] y por Peter Burgoyne. ^{[5] : 393} En 1957, Res Jost derivó el teorema CPT usando el teorema de espín-estadística, y la prueba de Burgoyne del teorema de espín-estadística en 1958 no requirió restricciones en las interacciones ni en la forma de las teorías de campo. Estos resultados están entre los teoremas prácticos más rigurosos. ^{[14] : 529} ${\displaystyle \phi (x)\phi (y)}$ ${\displaystyle (x-y)}$

A pesar de estos éxitos, Feynman, en su conferencia de pregrado de 1963 en la que discutió la conexión entre el espín y la estadística, dijo: "Nos disculpamos por el hecho de que no podemos darle una explicación elemental". ^[3] Neuenschwander se hizo eco de esto en 1994, preguntando si había algún progreso, ^[15] lo que estimuló la publicación de más pruebas y libros. ^[5] La popularización de la conexión entre el espín y la estadística por parte de Neuenschwander en 2013 sugería que las explicaciones simples siguen siendo difíciles de alcanzar. ^[16]

Pruebas experimentales

En 1987, Greenberg y Mohaparra propusieron que el teorema de estadística de espín podría tener pequeñas violaciones. ^{[17] [18]} Con la ayuda de cálculos muy precisos para estados del átomo de He que violan el principio de exclusión de Pauli , ^[19] Deilamian, Gillaspy y Kelleher ^[20] buscaron el estado 1s2s ¹ S ₀ de He usando un espectrómetro de haz atómico. La búsqueda no tuvo éxito con un límite superior de 5×10 ⁻⁶ .

Relación con la teoría de la representación del grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz no tiene representaciones unitarias no triviales de dimensión finita. Por lo tanto, parece imposible construir un espacio de Hilbert en el que todos los estados tengan espín finito, distinto de cero y una norma positiva e invariante respecto de Lorentz. Este problema se supera de diferentes maneras según las estadísticas de espín de las partículas.

Para un estado de espín entero, los estados de norma negativos (conocidos como "polarización no física") se establecen en cero, lo que hace necesario el uso de la simetría de calibre .

Para un estado de espín semientero, el argumento se puede evitar utilizando estadísticas fermiónicas. ^[21]

Cuasipartículas aniones en 2 dimensiones

En 1982, el físico Frank Wilczek publicó un artículo de investigación sobre las posibilidades de las posibles partículas de espín fraccional, a las que denominó aniones por su capacidad de adoptar "cualquier" espín. ^[22] Escribió que se predijo teóricamente que surgirían en sistemas de baja dimensión donde el movimiento está restringido a menos de tres dimensiones espaciales. Wilczek describió sus estadísticas de espín como "interpolando continuamente entre los casos habituales de bosones y fermiones". ^[22] El efecto se ha convertido en la base para comprender el efecto Hall cuántico fraccional . ^{[23] [24]}

Véase también

• Paraestadística
• Estadísticas de Anyonic
• Estadísticas de trenzas

Referencias

1. Dirac, Paul Adrien Maurice (1 de enero de 1981). Los principios de la mecánica cuántica. Clarendon Press. pág. 149. ISBN 9780198520115.
2. Pauli, Wolfgang (1 de enero de 1980). Principios generales de la mecánica cuántica. Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.
3. Feynman, Richard P.; Robert B. Leighton; Matthew Sands (1965). Las conferencias Feynman sobre física. Vol. 3. Addison-Wesley. pág. 4.1. ISBN 978-0-201-02118-9.
4. Sudarshan, ECG (mayo de 1968). "El teorema fundamental sobre la relación entre el espín y la estadística". Actas de la Academia India de Ciencias – Sección A . 67 (5): 284–293. doi :10.1007/BF03049366. ISSN  0370-0089.
5. Duck, Ian; Sudarshan, Ennackel Chandy George; Sudarshan, ECG (1998). Pauli y el teorema de la estadística de espín (1.ª edición reimpresa). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-3114-9.
6. Curceanu, Catalina; Gillaspy, JD; Hilborn, Robert C. (1 de julio de 2012). "Carta de recursos SS-1: La conexión entre espín y estadística". Revista estadounidense de física . 80 (7): 561–577. doi :10.1119/1.4704899. ISSN  0002-9505.
7. Markus Fierz (1939). "Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin". Helvetica Physica Acta (en alemán). 12 (1): 3–37. Código bibliográfico : 1939AcHPh..12....3F. doi :10.5169/sellos-110930.
8. Wolfgang Pauli (15 de octubre de 1940). "La conexión entre el espín y la estadística" (PDF) . Physical Review . 58 (8): 716–722. Bibcode :1940PhRv...58..716P. doi :10.1103/PhysRev.58.716.
9. Wolfgang Pauli (1950). "Sobre la conexión entre el espín y la estadística". Progreso de la física teórica . 5 (4): 526–543. Bibcode :1950PThPh...5..526P. doi : 10.1143/ptp/5.4.526 .
10. Richard Feynman (1961). "La teoría de los positrones". Electrodinámica cuántica . Libros básicos . ISBN 978-0-201-36075-2.Una reimpresión del artículo de Feynman de 1949 en Physical Review.
11. Julian Schwinger (15 de junio de 1951). "La teoría cuántica de campos I". Physical Review . 82 (6): 914–917. Bibcode :1951PhRv...82..914S. doi :10.1103/PhysRev.82.914. S2CID  121971249.
12. Pauli, Wolfgang (1988). "Principio de exclusión, Grupo Lorentz y reflejo del espacio-tiempo y carga". En Enz, Charles P.; contra Meyenn, Karl (eds.). Wolfgang Pauli (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. págs. 459–479. doi :10.1007/978-3-322-90270-2_41. ISBN 978-3-322-90271-9.
13. Lüders, Gerhart; Zumino, Bruno (15 de junio de 1958). "Conexión entre espín y estadística". Physical Review . 110 (6): 1450–1453. doi :10.1103/PhysRev.110.1450. ISSN  0031-899X.
14. Pais, Abraham (2002). Inward bound: de materia y fuerzas en el mundo físico (edición reimpresa). Oxford: Clarendon Press [ua] ISBN 978-0-19-851997-3.
15. Neuenschwander, Dwight E. (1 de noviembre de 1994). "Pregunta nº 7. El teorema de la estadística de espín". American Journal of Physics . 62 (11): 972–972. doi :10.1119/1.17652. ISSN  0002-9505.
16. Neuenschwander, Dwight E. (28 de julio de 2015). "El teorema de la estadística de espín y las funciones de distribución de partículas idénticas". Radiaciones . pág. 27.
17. Greenberg, OW; Mohapatra, RN (30 de noviembre de 1987). "Teoría de campos cuánticos locales de posible violación del principio de Pauli". Physical Review Letters . 59 (22): 2507–2510. doi :10.1103/PhysRevLett.59.2507. ISSN  0031-9007.
18. Hilborn, Robert C. (1 de abril de 1995). "Respuesta a la pregunta n.° 7 ["El teorema de la estadística de espín", Dwight E. Neuenschwander, Am. J. Phys. 62 (11), 972 (1994)]". American Journal of Physics . 63 (4): 298–299. doi :10.1119/1.17953. ISSN  0002-9505.
19. Drake, GWF (1989). "Cambios de energía previstos para el helio "parónico"". Phys. Rev. A . 39 (2): 897–899. Bibcode :1989PhRvA..39..897D. doi :10.1103/PhysRevA.39.897. PMID  9901315. S2CID  35775478.
20. Deilamian, K.; et al. (1995). "Búsqueda de pequeñas violaciones del postulado de simetrización en un estado excitado de helio". Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787–4790. Bibcode :1995PhRvL..74.4787D. doi :10.1103/PhysRevLett.74.4787. PMID  10058599.
21. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison-Wesley . ISBN 0-201-50397-2.
22. Wilczek, Frank (4 de octubre de 1982). "Mecánica cuántica de partículas de espín fraccional" (PDF) . Physical Review Letters . 49 (14): 957–959. Bibcode :1982PhRvL..49..957W. doi :10.1103/PhysRevLett.49.957.
23. Laughlin, RB (1 de julio de 1999). "Conferencia Nobel: cuantificación fraccionaria". Reseñas de física moderna . 71 (4): 863–874. doi :10.1103/RevModPhys.71.863. ISSN  0034-6861.
24. Murthy, Ganpathy; Shankar, R. (3 de octubre de 2003). "Teorías hamiltonianas del efecto Hall cuántico fraccionario". Reseñas de Física Moderna . 75 (4): 1101–1158. doi :10.1103/RevModPhys.75.1101. ISSN  0034-6861.

Lectura adicional

• Duck, Ian; Sudarshan, ECG (1998). "Hacia una comprensión del teorema de espín-estadística". American Journal of Physics . 66 (4): 284–303. Bibcode :1998AmJPh..66..284D. doi : 10.1119/1.18860 .
• Streater, Ray F.; Wightman, Arthur S. (2000). PCT, Spin & Statistics, and All That (quinta edición). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-07062-8.
• Jabs, Arthur (2010). "Conectando el espín y la estadística en la mecánica cuántica". Fundamentos de la física . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode :2010FoPh...40..776J. doi :10.1007/s10701-009-9351-4. S2CID  122488238.

Enlaces externos

• Una bonita prueba de ello en la página de inicio de John Baez
• Animación del truco del cinturón de Dirac con un cinturón doble, que muestra que los cinturones se comportan como partículas de espín 1/2
• Animación de una variante del truco del cinturón de Dirac que muestra que las partículas de espín 1/2 son fermiones