Convergencia condicional

Una propiedad de las series infinitas

En matemáticas , se dice que una serie o integral es condicionalmente convergente si converge, pero no converge absolutamente .

Definición

Más precisamente, se dice que una serie de números reales converge condicionalmente si existe (como un número real finito, es decir, no o ), pero ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Un ejemplo clásico es la serie armónica alterna dada por que converge a , pero no es absolutamente convergente (ver Serie armónica ). $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},}$$ ${\displaystyle \ln(2)}$

Bernhard Riemann demostró que una serie condicionalmente convergente puede reordenarse para converger a cualquier valor, incluidos ∞ o −∞; véase el teorema de series de Riemann . El teorema de Agnew describe reordenamientos que preservan la convergencia para todas las series convergentes.

El teorema de Lévy-Steinitz identifica el conjunto de valores a los que una serie de términos en R ⁿ puede converger.

Una integral condicionalmente convergente típica es aquella en el eje real no negativo de (ver integral de Fresnel ). ${\textstyle \sin(x^{2})}$

Véase también

• Convergencia absoluta
• Convergencia incondicional

Referencias

• Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).