Condición de contorno de Robin

Clase de problemas en PDE

En matemáticas , la condición de frontera de Robin ( / ˈ r ɒ b ɪ n / ; propiamente francés: [ʁɔbɛ̃] ), o condición de frontera de tercer tipo , es un tipo de condición de frontera , que lleva el nombre de Victor Gustave Robin (1855-1897). ^[1] Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , es una especificación de una combinación lineal de los valores de una función y los valores de su derivada en el límite del dominio. Otros nombres equivalentes en uso son condición de tipo Fourier y condición de radiación . ^[2]

Definición

Las condiciones de frontera de Robin son una combinación ponderada de las condiciones de frontera de Dirichlet y las condiciones de frontera de Neumann . Esto contrasta con las condiciones de frontera mixtas , que son condiciones de frontera de diferentes tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condiciones de frontera de Robin también se denominan condiciones de frontera de impedancia , por su aplicación en problemas electromagnéticos , o condiciones de frontera convectivas , por su aplicación en problemas de transferencia de calor (Hahn, 2012).

Si Ω es el dominio en el que se va a resolver la ecuación dada y ∂Ω denota su frontera , la condición de frontera de Robin es: ^[3]

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega }$

para algunas constantes a y b distintas de cero y una función dada g definida en ∂Ω. Aquí, u es la solución desconocida definida en Ω y∂ tu/∂ nortedenota la derivada normal en el límite. De manera más general, se permite que a y b sean funciones (dadas), en lugar de constantes.

En una dimensión, si, por ejemplo, Ω = [0,1], la condición de frontera de Robin se convierte en las condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}}$

Observe el cambio de signo delante del término que involucra una derivada: esto se debe a que la normal a [0,1] en 0 apunta en la dirección negativa, mientras que en 1 apunta en la dirección positiva.

Solicitud

Las condiciones de frontera de Robin se utilizan comúnmente para resolver problemas de Sturm-Liouville que aparecen en muchos contextos de la ciencia y la ingeniería.

Además, la condición de frontera de Robin es una forma general de la condición de frontera de aislamiento para ecuaciones de convección-difusión . Aquí, los flujos convectivos y difusivos en el límite suman cero:

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0}$

donde D es la constante de difusión, u es la velocidad convectiva en el límite y c es la concentración. El segundo término es resultado de la ley de difusión de Fick .

Referencias

1. Gustafson, K., (1998). Descomposición de dominio, trigonometría de operador, condición de Robin, matemáticas contemporáneas , 218 . 432–437.
2. Logan, J. David, (2001). Modelado de transporte en sistemas hidrogeoquímicos. Saltador.
3. JE similar (2005). Análisis de elementos finitos con estimadores de errores: una introducción al FEM y al análisis de errores adaptativo para estudiantes de ingeniería. Butterworth-Heinemann. pag. 69.ISBN​ 9780080472751.

Bibliografía

• Gustafson, K. y T. Abe, (1998a). La tercera condición de contorno: ¿era de Robin?, The Mathematical Intelligencer , 20 , #1, 63–71.
• Gustafson, K. y T. Abe, (1998b). (Víctor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer , 20 , #2, 47–53.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Matemáticas aplicadas, cuerpo y alma . Berlina; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Análisis numérico teórico: un marco de análisis funcional . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Ecuaciones diferenciales computacionales . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.

• Mei, Zhen (2000). Análisis numérico de bifurcación para ecuaciones de reacción-difusión . Berlina; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.

• Hahn, David W.; Ozisk, MN (2012). Conducción de calor, 3ª edición . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.