Estado de Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi

En ecuaciones diferenciales parciales numéricas , la condición de Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi (LBB) es una condición suficiente para que un problema de punto de silla tenga una solución única que dependa continuamente de los datos de entrada. Los problemas de punto de silla surgen en la discretización del flujo de Stokes y en la discretización de elementos finitos mixtos de la ecuación de Poisson . Para problemas de definición positiva, como la formulación no mixta de la ecuación de Poisson, la mayoría de los esquemas de discretización convergerán a la solución verdadera en el límite a medida que se refine la malla. Sin embargo, para los problemas de punto de silla, muchas discretizaciones son inestables, lo que da lugar a artefactos como oscilaciones espurias. La condición LBB proporciona criterios para determinar cuándo una discretización de un problema de punto de silla es estable.

Esta afección se conoce como afección LBB, afección Babuška-Brezzi o afección "inf-sup".

Problemas en el punto de silla

La forma abstracta de un problema de punto de silla se puede expresar en términos de espacios de Hilbert y formas bilineales. Sean y espacios de Hilbert, y sean , formas bilineales. Sean , donde , son los espacios duales. El problema de punto de silla para el par , es encontrar un par de cuerpos en , en tal que, para todos en y en , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b:V\times Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle g\in Q^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle Q^{*}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(u,v)+b(v,p)&=\langle f,v\rangle \\b(u,q)&=\langle g,q\rangle .\end{aligned}}}$

Por ejemplo, para las ecuaciones de Stokes en un dominio dimensional , los campos son la velocidad y la presión , que se encuentran en el espacio de Sobolev y el espacio de Lebesgue , respectivamente . Las formas bilineales para este problema son ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{d}}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(u,v)&=\int _{\Omega }\mu \nabla u:\nabla v\,dx\\b(u,q)&=\int _{\Omega }(\nabla \cdot u)q\,dx,\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad? ${\displaystyle \mu }$

Otro ejemplo es la ecuación mixta de Laplace (en este contexto también denominada a veces ecuaciones de Darcy) donde los campos son nuevamente la velocidad y la presión , que viven en los espacios y , respectivamente. Aquí, las formas bilineales para el problema son ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{\text{div}}(\Omega )^{d}}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(u,v)&=\int _{\Omega }u\cdot K^{-1}v\,dx\\b(u,q)&=\int _{\Omega }(\nabla \cdot u)q\,dx,\end{aligned}}}$

donde es la inversa del tensor de permeabilidad. ${\displaystyle K^{-1}}$

Enunciado del teorema

Supongamos que y son ambas formas bilineales continuas, y además que es coercitivo sobre el núcleo de : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|_{V}^{2}}$

para todos tales que para todos . Si satisface la condición inf–sup o Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle b(v,q)=0}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}}}\geq \beta \|q\|_{Q}}$

para todos y para algunos , entonces existe una solución única del problema del punto de silla. Además, existe una constante tal que ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle u,p}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \|u\|_{V}+\|p\|_{Q}\leq C(\|f\|_{V^{*}}+\|g\|_{Q^{*}}).}$

El nombre alternativo de la condición, la condición "inf-sup", proviene del hecho de que al dividir por , se llega a la afirmación ${\displaystyle \|q\|_{Q}}$

${\displaystyle \sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}\|q\|_{Q}}}\geq \beta .}$

Dado que esto tiene que cumplirse para todos y dado que el lado derecho no depende de , podemos tomar el ínfimo sobre todos en el lado izquierdo y podemos reescribir la condición de manera equivalente como ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \inf _{q\in Q,q\neq 0}\sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}\|q\|_{Q}}}\geq \beta .}$

Conexión con problemas de optimización de dimensión infinita

Los problemas de punto de silla como los que se muestran arriba se asocian frecuentemente con problemas de optimización de dimensión infinita con restricciones. Por ejemplo, las ecuaciones de Stokes resultan de minimizar la disipación

${\displaystyle I(u)=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}\mu |\nabla u|^{2}-f\cdot u\right)}$

sujeto a la restricción de incompresibilidad

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.}$

Utilizando el enfoque habitual para problemas de optimización restringida, se puede formar un Lagrangiano

${\displaystyle L(u,\lambda )=I(u)-\left(\lambda ,\nabla \cdot u\right)=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}\mu |\nabla u|^{2}-f\cdot u-\lambda (\nabla \cdot u)\right).}$

Las condiciones de optimalidad ( condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ), es decir, las condiciones necesarias de primer orden, que corresponden a este problema, se determinan entonces por variación de con respecto a ${\displaystyle L(u,\lambda )}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\mu \nabla u:\nabla v-f\cdot v-\lambda (\nabla \cdot v)\right)=0\qquad \forall v\in H^{1}(\Omega )^{d},}$

y por variación de con respecto a : ${\displaystyle L(u,\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle -\int _{\Omega }\left(q(\nabla \cdot u)\right)=0\qquad \forall q\in L_{2}(\Omega )^{d},}$

Esta es exactamente la forma variacional de las ecuaciones de Stokes que se muestran arriba con

${\displaystyle a(u,v):=\int _{\Omega }\left(\mu \nabla u:\nabla v\right),}$

${\displaystyle b(\lambda ,v):=\int _{\Omega }\lambda (\nabla \cdot v).}$

Las condiciones inf-sup pueden entonces entenderse en este contexto como el equivalente de dimensión infinita de las condiciones de calificación de restricción (específicamente, LICQ) necesarias para garantizar que un minimizador del problema de optimización restringido también satisface las condiciones necesarias de primer orden representadas por el problema del punto de silla mostrado anteriormente. En este contexto, las condiciones inf-sup pueden interpretarse como que dicen que en relación con el tamaño del espacio de variables de estado , el número de restricciones (como se representa por el tamaño del espacio de multiplicadores de Lagrange ) debe ser suficientemente pequeño. Alternativamente, puede verse como que requiere que el tamaño del espacio de variables de estado debe ser suficientemente grande en comparación con el tamaño del espacio de multiplicadores de Lagrange . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \lambda }$

Referencias

• Boffi, Daniele; Brezzi, Franco; Fortin, Michel (2013). Métodos de elementos finitos mixtos y aplicaciones . Vol. 44. Springer.

• Gatica, Gabriel N. (2014). Una introducción sencilla al método de elementos finitos mixtos: teoría y aplicaciones . Cham: Springer. doi :10.1007/978-3-319-03695-3. ISBN . 978-3-319-03694-6.Señor 3157367  .

Enlaces externos

• Una formulación variacional mixta para magnetostática lineal y no lineal 3D
• Notas de clase sobre métodos avanzados de elementos finitos
• Condición y bloqueo de Inf-sup: comprensión y elusión