Concomitante (estadística)

En estadística , el concepto de concomitante , también llamado estadística de orden inducido , surge cuando uno clasifica los miembros de una muestra aleatoria de acuerdo con los valores correspondientes de otra muestra aleatoria.

Sea ( X _i ,  Y _i ), i  = 1, . . .,  n una muestra aleatoria de una distribución bivariada. Si la muestra está ordenada por X _i , entonces la variable Y asociada con X _{r : n} se denotará por Y _{[ r : n ]} y se denominará concomitante del estadístico de ^orden r .

Supongamos que la distribución bivariada principal tiene la función de distribución acumulativa F(x,y) y su función de densidad de probabilidad f(x,y) , entonces la función de densidad de probabilidad del r ^-ésimo concomitante para es ${\displaystyle Y_{[r:n]}}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$

${\displaystyle f_{Y_{[r:n]}}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y\mid X}(y|x)f_{X_{r:n}}(x)\,\mathrm {d} x}$

Si se supone que todos son iid, entonces para , la densidad conjunta para está dada por ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ${\displaystyle 1\leq r_{1}<\cdots <r_{k}\leq n}$ ${\displaystyle \left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)}$

${\displaystyle f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}}(y_{1},\cdots ,y_{k})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{x_{k}}\cdots \int _{-\infty }^{x_{2}}\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i}|x_{i})f_{X_{r_{1}:n},\cdots ,X_{r_{k}:n}}(x_{1},\cdots ,x_{k})\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}}$

Es decir, en general, los concomitantes conjuntos de las estadísticas de orden son dependientes, pero son condicionalmente independientes dados para todo k donde . La distribución condicional de los concomitantes conjuntos se puede derivar del resultado anterior comparando la fórmula en la distribución marginal y, por lo tanto, ${\displaystyle \left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)}$ ${\displaystyle X_{r_{1}:n}=x_{1},\cdots ,X_{r_{k}:n}=x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1}\leq \cdots \leq x_{k}}$

${\displaystyle f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\mid X_{r_{1}:n}\cdots X_{r_{k}:n}}(y_{1},\cdots ,y_{k}|x_{1},\cdots ,x_{k})=\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i}|x_{i})}$

Referencias

• David, Herbert A.; Nagaraja, HN (1998). "Concomitantes de la estadística de orden". En Balakrishnan, N.; Rao, CR (eds.). Estadística de orden: teoría y métodos . Ámsterdam: Elsevier. págs. 487–513.
• ——; Nagaraja, HN (2003). Estadísticas de orden . Serie Wiley en probabilidad y estadística (3.ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons. pág. 144. ISBN 0-471-38926-9.Zbl 1053.62060  .
• Mathai, AM; Haubold, Hans J. (2008). Funciones especiales para científicos aplicados . Springer. ISBN 978-0-387-75893-0.