Espacio completamente metrizable

En matemáticas , un espacio completamente metrizable ^[1] ( espacio topológicamente completo métricamente ^[2] ) es un espacio topológico ( X , T ) para el cual existe al menos una métrica d en X tal que ( X , d ) es un espacio métrico completo y d induce la topología T . El término espacio topológicamente completo es empleado por algunos autores como sinónimo de espacio completamente metrizable ^[3] , pero a veces también se usa para otras clases de espacios topológicos, como espacios completamente uniformizables ^[4] o espacios Čech-completos.

Diferencia entreespacio métrico completoyespacio completamente metrizable

La distinción entre un espacio completamente metrizable y un espacio métrico completo reside en que existe al menos una métrica en la definición de espacio completamente metrizable, lo que no es lo mismo que se dé una métrica (lo último daría lugar a la definición de espacio métrico completo). Una vez que hacemos la elección de la métrica en un espacio completamente metrizable (de entre todas las métricas completas compatibles con la topología), obtenemos un espacio métrico completo. En otras palabras, la categoría de espacios completamente metrizables es una subcategoría de la de espacios topológicos, mientras que la categoría de espacios métricos completos no lo es (en cambio, es una subcategoría de la categoría de espacios métricos). La metrizabilidad completa es una propiedad topológica mientras que la completitud es una propiedad de la métrica. ^[5]

Ejemplos

• El espacio (0,1) ⊂ R , el intervalo unitario abierto, no es un espacio métrico completo con su métrica habitual heredada de R , pero es completamente metrizable ya que es homeomorfo a R . ^[6]
• El espacio Q de números racionales con la topología de subespacio heredada de R es metrizable pero no completamente metrizable. ^[7]

Propiedades

• Un espacio topológico X es completamente metrizable si y sólo si X es metrizable y un G δ en su compactificación de Stone–Čech β X . ^[8]
• Un subespacio de un espacio completamente metrizable X es completamente metrizable si y sólo si es G δ en X . ^[9]
• Un producto contable de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable en la topología de producto si y solo si cada factor es completamente metrizable. ^[10] Por lo tanto, un producto de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable si y solo si como máximo una cantidad contable de factores tienen más de un punto y cada factor es completamente metrizable. ^[11]
• Para cada espacio metrizable existe un espacio completamente metrizable que lo contiene como subespacio denso, ya que todo espacio métrico tiene una completitud . ^[12] En general, existen muchos de estos espacios completamente metrizables, ya que las completitudes de un espacio topológico con respecto a diferentes métricas compatibles con su topología pueden dar completitud topológicamente diferentes.

Grupos topológicos abelianos completamente metrizables

Cuando se habla de espacios con más estructura que la topología, como los grupos topológicos , el significado natural de las palabras “completamente metrizable” sería posiblemente la existencia de una métrica completa que también sea compatible con esa estructura adicional, además de inducir su topología. Para los grupos topológicos abelianos y los espacios vectoriales topológicos , “compatible con la estructura adicional” podría significar que la métrica es invariante ante las traslaciones.

Sin embargo, no puede surgir ninguna confusión cuando se habla de un grupo topológico abeliano o de un espacio vectorial topológico que sea completamente metrizable: se puede demostrar que todo grupo topológico abeliano (y, por tanto, también todo espacio vectorial topológico) que sea completamente metrizable como espacio topológico (es decir, admita una métrica completa que induce su topología) también admite una métrica completa invariante que induce su topología. ^[13]

Esto implica, por ejemplo, que todo espacio vectorial topológico completamente metrizable es completo. En efecto, un espacio vectorial topológico se denomina completo si y solo si su uniformidad (inducida por su topología y la operación de adición) es completa; la uniformidad inducida por una métrica invariante a la traslación que induce la topología coincide con la uniformidad original.

Véase también

• Espacio métrico completo
• Espacio completamente uniformizable
• Espacio metrizable

Notas

1. Willard, Definición 24.2
2. Kelley, Problema 6.K, pág. 207
3. p. ej. Steen y Seebach, I §5: Espacios métricos completos
4. Kelley, Problema 6.L, pág. 208
5. Willard 1970 Sección 24.
6. Willard, Capítulo 24
7. Willard, Ejercicio 25A
8. Willard, Teorema 24.13
9. Willard, Capítulo 24
10. Willard, Capítulo 24
11. Porque un producto de espacios metrizables no vacíos es metrizable si y sólo si como máximo un número contable de factores tienen más de un punto (Willard, Capítulo 22).
12. Willard, Capítulo 24
13. Klee, VL (1952). "Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .

Referencias

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1970). Contraejemplos en topología . Holt, Rinehart y Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-08707-9.