Simetría especular combinatoria

Victor Batyrev sugirió un enfoque puramente combinatorio para la simetría especular utilizando la dualidad polar para poliedros convexos de dimensión 1. ^[1] Los ejemplos más famosos de la dualidad polar son los sólidos platónicos : por ejemplo, el cubo es dual al octaedro , el dodecaedro es dual al icosaedro . Existe una biyección natural entre las caras de dimensión 1 de un poliedro convexo de dimensión 1 y las caras de dimensión 1 del poliedro dual y se tiene . En el enfoque combinatorio de Batyrev para la simetría especular, la dualidad polar se aplica a politopos reticulares convexos de dimensión 1 especiales que se denominan politopos reflexivos. ^[2] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (d-k-1)}$ ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle (P^{*})^{*}=P}$ ${\displaystyle d}$

Victor Batyrev y Duco van Straten ^[3] observaron que el método de Philip Candelas et al. ^[4] para calcular el número de curvas racionales en 3-pliegues quinticos de Calabi–Yau se puede aplicar a intersecciones completas arbitrarias de Calabi–Yau utilizando las funciones hipergeométricas generalizadas introducidas por Israel Gelfand , Michail Kapranov y Andrei Zelevinsky ^[5] (véase también la charla de Alexander Varchenko ^[6] ), donde es el conjunto de puntos de la red en un politopo reflexivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

La dualidad especular combinatoria para hipersuperficies de Calabi–Yau en variedades tóricas ha sido generalizada por Lev Borisov ^[7] en el caso de intersecciones completas de Calabi–Yau en variedades tóricas de Fano de Gorenstein . Utilizando las nociones de cono dual y cono polar se puede considerar la dualidad polar para politopos reflexivos como un caso especial de la dualidad para conos de Gorenstein convexos ^[8] y de la dualidad para politopos de Gorenstein. ^{[9] [10]}

Para cualquier número natural fijo existe sólo un número finito de politopos reflexivos -dimensionales hasta un -isomorfismo. El número es conocido sólo para : , , , La clasificación combinatoria de símplices reflexivos -dimensionales hasta un -isomorfismo está estrechamente relacionada con la enumeración de todas las soluciones de la ecuación diofántica . La clasificación de politopos reflexivos 4-dimensionales hasta un -isomorfismo es importante para construir muchas variedades de Calabi–Yau tridimensionales topológicamente diferentes utilizando hipersuperficies en variedades tóricas 4-dimensionales que son variedades de Gorenstein Fano . La lista completa de politopos reflexivos tridimensionales y 4-dimensionales ha sido obtenida por los físicos Maximilian Kreuzer y Harald Skarke utilizando un software especial en Polymake . ^{[11] [12] [13] [14]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle GL(d,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle N(d)}$ ${\displaystyle d\leq 4}$ ${\displaystyle N(1)=1}$ ${\displaystyle N(2)=16}$ ${\displaystyle N(3)=4319}$ ${\displaystyle N(4)=473800776.}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle GL(d,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (k_{0},k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {N} ^{d+1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k_{0}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{d}}}=1}$ ${\displaystyle GL(4,\mathbb {Z} )}$

Lev Borisov obtuvo una explicación matemática de la simetría especular combinatoria mediante álgebras de operadores de vértice que son contrapartes algebraicas de las teorías de campos conformes . ^[15]

Véase también

• Variedad tórica
• Simetría especular homológica
• Simetría especular (teoría de cuerdas)

Referencias

1. Batyrev, V. (1994). "Poliedros duales y simetría especular para hipersuperficies de Calabi-Yau en variedades tóricas". Journal of Algebraic Geometry : 493–535.
2. Nill, B. "Politopolítopos reflexivos" (PDF) .
3. Batyrev, V.; van Straten, D. (1995). "Funciones hipergeométricas generalizadas y curvas racionales en intersecciones completas de Calabi–Yau en variedades tóricas". Comm. Math. Phys . 168 (3): 493–533. arXiv : alg-geom/9307010 . Código Bibliográfico :1995CMaPh.168..493B. doi :10.1007/BF02101841. S2CID  16401756.
4. Candelas, P.; de la Ossa, X.; Green, P.; Parkes, L. (1991). "Un par de variedades de Calabi–Yau como una teoría de campos superconforme exactamente soluble". Física nuclear B . 359 (1): 21–74. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6.
5. I. Gelfand, M. Kapranov, S. Zelevinski (1989), "Funciones hipergeométricas y variedades tóricas", Funct. Anal. Appl. 23, núm. 2, 94–10.
6. A. Varchenko (1990), "Funciones hipergeométricas multidimensionales en teoría de campos conformes, teoría K algebraica, geometría algebraica", Proc. ICM-90, 281–300.
7. L. Borisov (1994), "Hacia la simetría especular para intersecciones completas de Calabi-Yau en variedades tóricas de Fano de Gorenstein", arXiv :alg-geom/9310001
8. Batyrev, V.; Borisov, L. (1997). "Conos duales y simetría especular para variedades de Calabi-Yau generalizadas". Mirror Symmetry, II : 71–86.
9. Batyrev, V.; Nill, B. (2008). "Aspectos combinatorios de la simetría especular". Matemáticas contemporáneas . 452 : 35–66. doi :10.1090/conm/452/08770. ISBN 9780821841730.S2CID6817890  .​
10. Kreuzer, M. (2008). "Combinatoria y simetría especular: resultados y perspectivas" (PDF) .
11. M. Kreuzer, H. Skarke (1997), "Sobre la clasificación de los poliedros reflexivos", Comm. Math. Phys., 185, 495–508
12. M. Kreuzer, H. Skarke (1998) "Clasificación de poliedros reflexivos en tres dimensiones", Advances Theor. Math. Phys., 2, 847–864
13. M. Kreuzer, H. Skarke (2002), "Clasificación completa de poliedros reflexivos en cuatro dimensiones", Advances Theor. Math. Phys., 4, 1209–1230
14. M. Kreuzer, H. Skarke, datos de Calabi-Yau, http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/
15. L. Borisov (2001), "Álgebras de vértices y simetría especular", Comm. Math. Phys., 215, núm. 3, 517–557.