Coeficiente de diferencia finita

Coeficiente utilizado en la aproximación numérica

En matemáticas, para aproximar una derivada con un orden arbitrario de precisión, es posible utilizar la diferencia finita . Una diferencia finita puede ser central , hacia delante o hacia atrás .

Diferencia finita central

Esta tabla contiene los coeficientes de las diferencias centrales , para varios órdenes de precisión y con espaciado de cuadrícula uniforme: ^[1]

Por ejemplo, la tercera derivada con una precisión de segundo orden es

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

donde representa un espaciado de cuadrícula uniforme entre cada intervalo de diferencia finita, y . ${\displaystyle h_{x}}$ ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$

Para la derivada -ésima con precisión , existen coeficientes centrales . Estos se dan mediante la solución del sistema de ecuaciones lineales ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$ ${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

donde el único valor distinto de cero en el lado derecho está en la fila -ésima. ${\displaystyle (m+1)}$

Hay disponible una implementación de código abierto para calcular coeficientes de diferencias finitas de derivadas arbitrarias y orden de precisión en una dimensión. ^[2]
Dado que la matriz del lado izquierdo es una matriz de Vandermonde transpuesta , un reordenamiento revela que los coeficientes se calculan básicamente ajustando y derivando un polinomio de orden -ésimo a una ventana de puntos. En consecuencia, los coeficientes también se pueden calcular como la derivada de orden -ésimo de un filtro Savitzky-Golay completamente determinado con grado polinomial y un tamaño de ventana de . Para esto, también hay disponibles implementaciones de código abierto. ^[3] Hay dos definiciones posibles que difieren en el orden de los coeficientes: un filtro para filtrar mediante convolución discreta o mediante un producto matriz-vector . Los coeficientes dados en la tabla anterior corresponden a la última definición. ${\displaystyle \mathbf {J} ^{T}}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle 2p+1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle 2p+1}$

La teoría de polinomios de Lagrange proporciona fórmulas explícitas para los coeficientes de diferencias finitas. ^[4] Para las primeras seis derivadas tenemos lo siguiente:

¿Dónde están los números armónicos generalizados ? ${\displaystyle H_{n,m}}$

Diferencia finita hacia adelante

Esta tabla contiene los coeficientes de las diferencias hacia adelante , para varios órdenes de precisión y con espaciado de cuadrícula uniforme: ^[1]

Por ejemplo, la primera derivada con una precisión de tercer orden y la segunda derivada con una precisión de segundo orden son

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

mientras que las aproximaciones hacia atrás correspondientes se dan por

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

Diferencia finita hacia atrás

Para obtener los coeficientes de las aproximaciones hacia atrás a partir de los de las aproximaciones hacia adelante, se asigna a todas las derivadas impares enumeradas en la tabla de la sección anterior el signo opuesto, mientras que para las derivadas pares los signos permanecen iguales. La siguiente tabla ilustra esto: ^[5]

Puntos de plantilla arbitrarios

Para puntos de plantilla arbitrarios y cualquier derivada de orden hasta uno menos que el número de puntos de plantilla, los coeficientes de diferencia finita se pueden obtener resolviendo las ecuaciones lineales ^[6] ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle s}$ ${\displaystyle \displaystyle d<N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

donde es el delta de Kronecker , igual a uno si , y cero en caso contrario. ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle i=j}$

Ejemplo, para , orden de diferenciación : ${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$ ${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

El orden de precisión de la aproximación toma la forma habitual (o mejor en el caso de diferencia finita central) ^{[ cita necesaria ]} . ${\displaystyle O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$

Véase también

• Método de diferencias finitas
• Diferencia finita
• Plantilla de cinco puntos
• Diferenciación numérica

Referencias

1. Fornberg, Bengt (1988), "Generación de fórmulas de diferencias finitas en cuadrículas espaciadas arbitrariamente", Matemáticas de la computación , 51 (184): 699–706, doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0 , ISSN  0025-5718.
2. "Un paquete de Python para derivadas numéricas de diferencias finitas en un número arbitrario de dimensiones". GitHub . 14 de octubre de 2021.
3. "scipy.signal.savgol_filter". Documentación en línea de Scipy . 2008–2024.
4. "Coeficientes de diferencias finitas". StackExchange . 5 de junio de 2023.
5. Taylor, Cameron (12 de diciembre de 2019). "Calculadora de coeficientes de diferencias finitas". MIT.
6. "Calculadora de coeficientes de diferencias finitas".