Incrustación cocompacta

En matemáticas, las incrustaciones cocompactas son incrustaciones de espacios vectoriales normados que poseen una cierta propiedad similar pero más débil que la compacidad . La cocompacidad se ha utilizado en el análisis matemático desde la década de 1980, sin que se la denomine por ningún nombre ^[1] (Lema 6), ^[2] (Lema 2.5), ^[3] (Teorema 1), o por apodos ad-hoc como como lema de fuga o incrustación inversa . ^[4]

La propiedad de cocompacidad permite verificar la convergencia de secuencias, basándose en la invariancia traslacional o de escala en el problema, y ​​generalmente se considera en el contexto de los espacios de Sobolev . El término incrustación cocompacta está inspirado en la noción de espacio topológico cocompacto .

Definiciones

Sea un grupo de isometrías en un espacio vectorial normado . Se dice que una secuencia converge débilmente a cero, si para cada secuencia , la secuencia es débilmente convergente a cero. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g_{k})\subset G}$ ${\displaystyle g_{k}(x_{k}-x)}$

Una incrustación continua de dos espacios vectoriales normados se llama cocompacta en relación con un grupo de isometrías si cada secuencia débilmente convergente es convergente en . ^[5] ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ ${\displaystyle Y}$

Un ejemplo elemental: la compacidad para ℓ ∞ ↪ ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }}

La incrustación del espacio en sí mismo es cocompacta en relación con el grupo de turnos . De hecho, si , es una secuencia débilmente convergente a cero, entonces para cualquier elección de . En particular, se puede elegir tal que , lo que implica que en . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle 2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{(k)}\|_{\infty }}$ ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Algunas incrustaciones conocidas que son cocompactas pero no compactas.

• ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )}$, , relativo a la acción de las traducciones en : ^[6] . ${\displaystyle q<p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})}$, , , en relación con las acciones de las traducciones en . ^[1] ${\displaystyle p<q<{\frac {pN}{N-p}}}$ ${\displaystyle N>p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• ${\displaystyle {\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{N-p}}(\mathbb {R} ^{N})}$, , relativo al grupo de productos de acciones de dilataciones y traslaciones en . ^{[2] [3] [6]} ${\displaystyle N>p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• "Incrustaciones del espacio de Sobolev en el caso Moser-Trudinger en el espacio de Orlicz correspondiente" . ^[7]
• Incrustaciones de espacios de Besov y Triebel-Lizorkin. ^[8]
• Incrustaciones de espacios de Strichartz . ^[4]

Referencias

1. E. Lieb, Sobre el valor propio más bajo del laplaciano para la intersección de dos dominios. Inventar. Matemáticas. 74 (1983), 441–448.
2. V. Benci, G. Cerami, Existencia de soluciones positivas de la ecuación −Δu+a(x)u=u( ^N+2)/(N−2) en R ^N , J. Funct. Anal. 88 (1990), núm. 1, 90-117.
3. S. Solimini, Una nota sobre propiedades de tipo compacidad con respecto a las normas de Lorentz de subconjuntos acotados de un espacio de Sobolev. Ana. Inst. H. Poincaré Anal. No lineal 12 (1995), 319–337.
4. Terence Tao, Una compactificación pseudoconformal de la ecuación y aplicaciones no lineales de Schrödinger, Nueva York J. Math. 15 (2009), 265–282.
5. C. Tintarev, Análisis de concentración y compacidad, en: Adimuri, K. Sandeep, I. Schindler, C. Tintarev, editores, Taller de análisis de concentración y aplicaciones al PDE ICTS, Bangalore, enero de 2012, ISBN  978-3-0348-0372 -4 , Birkhäuser, Tendencias en matemáticas (2013), 117–141.
6. S. Jaffard, Análisis de la falta de compacidad en las incrustaciones críticas de Sobolev. J. Función. Anal. 161 (1999).
7. Adimurthi, C. Tintarev, Sobre la compacidad en la desigualdad Trudinger-Moser, Annali SNS Pisa Cl. Ciencia. (5) vol. XIII (2014), 1–18.
8. H. Bahouri, A. Cohen, G. Koch, Una descomposición general de perfiles basada en ondas en la integración crítica de espacios funcionales, Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.