Inmersión cerrada

En geometría algebraica , una inmersión cerrada de esquemas es un morfismo de esquemas que identifica a Z como un subconjunto cerrado de X tal que localmente, las funciones regulares en Z pueden extenderse a X. ^[1] La última condición puede formalizarse diciendo que es sobreyectiva. [ ^2] ${\displaystyle f:Z\to X}$ ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}}$

Un ejemplo es el mapa de inclusión inducido por el mapa canónico . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R\to R/I}$

Otras caracterizaciones

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle f:Z\to X}$Es una inmersión cerrada.
2. Para cada afín abierto , existe un ideal tal que como esquemas sobre U. ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}$ ${\displaystyle I\subset R}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$
3. Existe una cubierta afín abierta y para cada j existe un ideal tal que como esquemas sobre . ${\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}$ ${\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})}$ ${\displaystyle U_{j}}$
4. Hay un haz cuasi coherente de ideales en X tal que y f es un isomorfismo de Z sobre el Spec global de sobre X. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$

Definición de espacios anillados localmente

En el caso de espacios anillados localmente ^[3] un morfismo es una inmersión cerrada si se satisface una lista similar de criterios. ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. El mapa es un homeomorfismo de sobre su imagen ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$
2. El mapa de gavilla asociado es sobreyectivo con núcleo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
3. El núcleo se genera localmente por secciones como un módulo ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

La única condición que varía es la tercera. Es instructivo observar un contraejemplo para tener una idea de lo que produce la tercera condición al observar un mapa que no es una inmersión cerrada, donde ${\displaystyle i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$

Si observamos el tallo de at entonces no hay secciones. Esto implica que cualquier subesquema abierto que contenga el haz no tiene secciones. Esto viola la tercera condición ya que al menos un subesquema abierto que lo cubra contiene . ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades

Una inmersión cerrada es finita y radicial (universalmente inyectiva). En particular, una inmersión cerrada es universalmente cerrada. Una inmersión cerrada es estable bajo cambio de base y composición. La noción de inmersión cerrada es local en el sentido de que f es una inmersión cerrada si y solo si para algún (equivalentemente todo) cubrimiento abierto la función inducida es una inmersión cerrada. ^{[5] [6]} ${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$ ${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$

Si la composición es una inmersión cerrada y está separada , entonces es una inmersión cerrada. Si X es un esquema S separado , entonces cada sección S de X es una inmersión cerrada. ^[7] ${\displaystyle Z\to Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to Y}$

Si es una inmersión cerrada y es el haz cuasi-coherente de ideales que corta a Z , entonces la imagen directa de la categoría de haces cuasi-coherentes sobre Z a la categoría de haces cuasi-coherentes sobre X es exacta, completamente fiel con la imagen esencial que consiste en tal que . ^[8] ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}$

Una inmersión cerrada plana de presentación finita es la inmersión abierta de un subesquema cerrado abierto. ^[9]

Véase también

• Incrustación de Segre
• Incrustación regular

Notas

1. Mumford, El libro rojo de variedades y esquemas , Sección II.5
2. Hartshorne 1977, §II.3
3. "Sección 26.4 (01HJ): Inmersiones cerradas de espacios con anillos locales: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 5 de agosto de 2021 .
4. "Sección 17.8 (01B1): Módulos generados localmente por secciones: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 5 de agosto de 2021 .
5. Grothendieck y Dieudonné 1960, 4.2.4
6. "Parte 4: Espacios algebraicos, Capítulo 67: Morfismos de espacios algebraicos", The Stacks Project , Universidad de Columbia , consultado el 6 de marzo de 2024
7. Grothendieck y Dieudonné 1960, 5.4.6
8. Pilas, morfismos de esquemas. Lema 4.1
9. Pilas, morfismos de esquemas. Lema 27.2

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• El proyecto Stacks
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157