Cierre integral de un ideal

En álgebra, la clausura integral de un ideal I de un anillo conmutativo R , denotada por , es el conjunto de todos los elementos r en R que son integrales sobre I : existen tales que ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$

${\displaystyle r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots +a_{n-1}r+a_{n}=0.}$

Es similar al cierre integral de un subanillo. Por ejemplo, si R es un dominio, un elemento r en R pertenece a si y solo si hay un R -módulo finitamente generado M , aniquilado solo por cero, tal que . De ello se deduce que es un ideal de R (de hecho, el cierre integral de un ideal es siempre un ideal; ver más abajo). Se dice que I está integralmente cerrado si . ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle rM\subset IM}$ ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle I={\overline {I}}}$

El cierre integral de un ideal aparece en un teorema de Rees que caracteriza un anillo analíticamente no ramificado .

Ejemplos

• En , es integral sobre . Satisface la ecuación , donde está en el ideal. ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle x^{i}y^{d-i}}$ ${\displaystyle (x^{d},y^{d})}$ ${\displaystyle r^{d}+(-x^{di}y^{d(d-i)})=0}$ ${\displaystyle a_{d}=-x^{di}y^{d(d-i)}}$
• Los ideales radicales (por ejemplo, los ideales primos) son integralmente cerrados. La intersección de ideales integralmente cerrados es integralmente cerrada.
• En un anillo normal , para cualquier divisor distinto de cero x y cualquier ideal I , . En particular, en un anillo normal, un ideal principal generado por un divisor distinto de cero es integralmente cerrado. ${\displaystyle {\overline {xI}}=x{\overline {I}}}$
• Sea un anillo polinomial sobre un cuerpo k . Un ideal I en R se llama monomio si es generado por monomios, es decir, . La clausura integral de un ideal monomial es monomio. ${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$

Resultados de la estructura

Sea R un anillo. El álgebra de Rees se puede utilizar para calcular la clausura integral de un ideal. El resultado de la estructura es el siguiente: la clausura integral de en , que es graduada, es . En particular, es un ideal y ; es decir, la clausura integral de un ideal es integralmente cerrada. También se deduce que la clausura integral de un ideal homogéneo es homogénea. ${\displaystyle R[It]=\oplus _{n\geq 0}I^{n}t^{n}}$ ${\displaystyle R[It]}$ ${\displaystyle R[t]}$ ${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}{\overline {I^{n}}}t^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle {\overline {I}}={\overline {\overline {I}}}}$

El siguiente tipo de resultados se denomina teorema de Briancon-Skoda : sea R un anillo regular e I un ideal generado por l elementos. Entonces, para cualquier . ${\displaystyle {\overline {I^{n+l}}}\subset I^{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Un teorema de Rees establece: sea ( R , m ) un anillo local noetheriano. Supóngase que es formalmente equidimensional (es decir, la completitud es equidimensional). Entonces dos ideales m -primarios tienen el mismo cierre integral si y solo si tienen la misma multiplicidad. ^[1] ${\displaystyle I\subset J}$

Véase también

• Teorema de Dedekind-Kummer

Notas

1. Swanson y Huneke 2006, Teorema 11.3.1

Referencias

• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 .
• Swanson, Irena ; Huneke, Craig (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, Reference-idHS2006, archivado desde el original el 2019-11-15 , consultado el 2013-07-12

Lectura adicional

• Irena Swanson , valoraciones de Rees.