Clase fundamental virtual

En matemáticas , específicamente en geometría enumerativa , la clase fundamental virtual ^{[1] [2]} de un espacio es un reemplazo de la clase fundamental clásica en su anillo de Chow que tiene un mejor comportamiento con respecto a los problemas enumerativos que se están considerando. De esta manera, existe un ciclo que puede usarse para responder problemas enumerativos específicos, como el número de curvas racionales de grado en una tripleta quíntica . Por ejemplo, en la teoría de Gromov-Witten , los espacios de módulos de Kontsevich ^[3] ${\displaystyle [X]_{E^{\bullet }}^{\text{vir}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X]\in A^{*}(X)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

Para un esquema y una clase en , su comportamiento puede ser salvaje en el límite, como ^{[4] pg 503} que tiene componentes de mayor dimensión en el límite que en el espacio principal. Un ejemplo de ello es el espacio de módulos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{1}(X)}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,n}(\mathbb {P} ^{2},1[H])}$

para la clase de una línea en . El componente "suave" no compacto está vacío, pero el límite contiene mapas de curvas ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

cuyos componentes consisten en una curva de grado 3 que se contrae hasta un punto. Existe una clase fundamental virtual que puede utilizarse para contar el número de curvas de esta familia.

Motivación geométrica

Podemos entender la motivación para la definición de la clase fundamental virtual ^{[5] pg 10} al considerar qué situación se debe emular para un caso simple (tal como una intersección completa suave). Supongamos que tenemos una variedad (que representa el espacio grueso de algún problema de módulos ) que se corta de un espacio suave ambiental por una sección de un fibrado de rango-vector . Entonces tiene "dimensión virtual" (donde es la dimensión de ). Este es el caso si es una sección transversal, pero si no lo es, y se encuentra dentro de un subfibrado donde es transversal, entonces podemos obtener un ciclo de homología al observar la clase de Euler del fibrado de cokernel sobre . Este fibrado actúa como el fibrado normal de en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (n-r)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E'\subset E}$ ${\displaystyle E/E'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ahora bien, esta situación se aborda en la teoría de intersección de Fulton-MacPherson observando el cono inducido y observando la intersección de la sección inducida en el cono inducido y la sección cero, lo que da un ciclo en . Si no hay un espacio ambiental obvio para el cual haya una incrustación, debemos confiar en las técnicas de la teoría de la deformación para construir este ciclo en el espacio de módulos que representa la clase fundamental. Ahora bien, en el caso en el que tenemos la sección que corta , hay una secuencia exacta de cuatro términos ${\displaystyle E|_{X}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s:Y\to E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to T_{Y}|_{X}\xrightarrow {ds} E|_{X}\to {\text{ob}}\to 0}$

donde el último término representa el "haz de obstrucción". Para el caso general existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{1}\to E_{1}\to E_{2}\to {\mathcal {T}}_{2}\to 0}$

donde actúan de manera similar a y actúan como las haces tangente y de obstrucción. Nótese que la construcción de Behrend-Fantechi es una dualización de la secuencia exacta dada a partir del ejemplo concreto anterior ^{[6] pág. 44} . ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ${\displaystyle T_{Y}|_{X},E|_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},{\mathcal {T}}_{2}}$

Observación sobre definiciones y casos especiales

Existen múltiples definiciones de clases fundamentales virtuales, ^{[2] [7] [8] [9]} todas las cuales se incluyen en la definición de morfismos de pilas de Deligne-Mumford que utilizan el cono normal intrínseco y una teoría de obstrucción perfecta , pero las primeras definiciones son más adecuadas para construir ejemplos de bajo nivel para ciertos tipos de esquemas, como aquellos con componentes de dimensión variable. De esta manera, la estructura de las clases fundamentales virtuales se vuelve más transparente, lo que brinda una mayor intuición sobre su comportamiento y estructura.

Clase fundamental virtual de una incrustación en un esquema suave

Una de las primeras definiciones de una clase fundamental virtual ^{[2] pág. 10} es para el siguiente caso: supongamos que tenemos una incrustación de un esquema en un esquema suave ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$

y un haz vectorial (llamado haz de obstrucción )

${\displaystyle \pi :E_{X/Y}\to X}$

de manera que el cono normal se incrusta en más de . Un candidato natural para tal haz de obstrucción si se da por ${\displaystyle C_{X/Y}}$ ${\displaystyle E_{X/Y}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{X/Y}=\bigoplus _{j=1}^{r}i^{*}{\mathcal {O}}_{Y}(-D_{j})}$

para los divisores asociados a un conjunto distinto de cero de generadores para el ideal . Luego, podemos construir la clase fundamental virtual de utilizando el morfismo Gysin generalizado dado por la composición ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X/Y}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A_{*}(Y)\xrightarrow {\sigma } A_{*}(C_{X/Y})\xrightarrow {i_{*}} A_{*}(E_{X/Y})\xrightarrow {0_{E_{X/Y}}^{!}} A_{*-r}(X)}$

denotado , donde está el mapa dado por ${\displaystyle f_{E_{X/Y}}^{!}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ([V])=[C_{V\cap X}V]}$

y es el inverso del isomorfismo de retroceso plano ${\displaystyle 0_{E_{X/Y}}^{!}}$

${\displaystyle \pi ^{*}:A_{k-r}(X)\to A_{k}(E_{X/Y})}$.

Aquí utilizamos en el mapa ya que corresponde a la sección cero del fibrado vectorial. Entonces, la clase fundamental virtual de la configuración anterior se define como ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [X]_{E_{X/Y}}^{\text{vir}}:=f_{E_{X/Y}}^{!}([Y])}$

que es simplemente el morfismo Gysin generalizado de la clase fundamental de . ${\displaystyle Y}$

Observaciones sobre la construcción

El primer mapa en la definición del morfismo Gysin corresponde a la especialización en el cono normal ^{[10] pág. 89} , que es esencialmente la primera parte del morfismo Gysin estándar, tal como se define en Fulton ^{[10] pág. 90.} Pero, debido a que no estamos trabajando con variedades suaves, la construcción del cono de Fulton no funciona, ya que daría , por lo tanto, el fibrado normal podría actuar como el fibrado de obstrucción. De esta manera, el paso intermedio de usar la especialización del cono normal solo mantiene los datos teóricos de intersección de relevantes para la variedad . ${\displaystyle C_{X/Y}\cong N_{X/Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Grupo Chow de una pila

Referencias

1. Pandharipande, R.; Thomas, RP (2014). "13/2 formas de contar curvas". En Brambila-Paz, Leticia ; Newstead, Peter; Thomas, Richard P. W; García-Prada, Oscar (eds.). Espacios de módulos . págs. 282–333. arXiv : 1111.1552 . doi :10.1017/CBO9781107279544.007. ISBN . 9781107279544. Número de identificación del sujeto  117183792.
2. Battistella, Luca; Carocci, Francesca; Manolache, Cristina (9 de abril de 2020). "Clases virtuales para el matemático en activo". Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones . 16 : 026. arXiv : 1804.06048 . Bibcode :2020SIGMA..16..026B. doi :10.3842/SIGMA.2020.026. S2CID  119167258.
3. Kontsevich, M. (27 de junio de 1995). "Enumeración de curvas racionales mediante acciones de toro". arXiv : hep-th/9405035 .
4. Simetría especular. Kentaro Hori. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-2955-6.OCLC 52374327  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
5. Thomas, RP (11 de junio de 2001). "Un invariante de Casson holomorfo para pliegues triples de Calabi-Yau y fibraciones K3". arXiv : math/9806111 .
6. Pandharipande, R.; Thomas, RP (2014). "13/2 formas de contar curvas". Espacios de módulos . págs. 282–333. arXiv : 1111.1552 . doi :10.1017/CBO9781107279544.007. ISBN 9781107636385. Número de identificación del sujeto  117183792.
7. Siebert, Bernd (4 de septiembre de 2005). "Clases fundamentales virtuales, conos normales globales y clases canónicas de Fulton". arXiv : math/0509076 .
8. Ciclos fundamentales virtuales en topología simpléctica. John, 21 de marzo de 2019. Morgan, Dusa McDuff, Mohammad Tehrani, Kenji Fukaya, Dominic D. Joyce, Simons Center for Geometry and Physics. Providence, Rhode Island . 978-1-4704-5014-4.OCLC 1080251406  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link)
9. Li, Jun; Tian, ​​Gang (13 de febrero de 1998). "Ciclos de módulos virtuales e invariantes de Gromov-Witten de variedades algebraicas". arXiv : alg-geom/9602007 .
10. Fulton, William (1998). Teoría de la intersección (Nueva edición). Nueva York: Springer New York. ISBN 978-1-4612-1700-8. OCLC  958523758.

• Clases fundamentales virtuales, conos normales globales y clases canónicas de Fulton