Cisoide de Diocles

En geometría , la cisoide de Diocles (del griego antiguo κισσοειδής (kissoeidēs) ' en forma de hiedra '; llamada así por Diocles ) es una curva plana cúbica notable por la propiedad de que puede usarse para construir dos medias proporcionales a una razón dada . En particular, puede usarse para duplicar un cubo . Puede definirse como la cisoide de un círculo y una línea tangente a ella con respecto al punto en el círculo opuesto al punto de tangencia. De hecho, la familia de curvas de cisoides se llama así por este ejemplo y algunos autores se refieren a ella simplemente como la cisoide. Tiene una sola cúspide en el polo y es simétrica respecto del diámetro del círculo, que es la línea de tangencia de la cúspide. La línea es una asíntota . Es un miembro de la familia de curvas de la concoide de De Sluze y en su forma se asemeja a una tractriz .

Construcción y ecuaciones

Sea a el radio de $C.$ Por traslación y rotación, podemos tomar $O$ como el origen y ( a , 0) como el centro del círculo, por lo que $A$ $es$ ( $2$ $a$ $, 0)$ . Entonces, las ecuaciones polares de $L$ y $C$ son:

{\begin{aligned}&r=2a\sec \theta \\&r=2a\cos \theta .\end{aligned}}

Por construcción, la distancia desde el origen hasta un punto en la cisoide es igual a la diferencia entre las distancias entre el origen y los puntos correspondientes en $L$ y $C.$ En otras palabras, la ecuación polar de la cisoide es

r=2a\sec \theta -2a\cos \theta =2a(\sec \theta -\cos \theta ).

Aplicando algunas identidades trigonométricas, esto es equivalente a

r=2a\sin ^{2}\!\theta \mathbin {/} \cos \theta =2a\sin \theta \tan \theta .

Sea $t = tan θ$ en la ecuación anterior. Entonces

{\begin{aligned}&x=r\cos \theta =2a\sin ^{2}\!\theta ={\frac {2a\tan ^{2}\!\theta }{\sec ^{2}\!\theta }}={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

son ecuaciones paramétricas para la cisoide.

La conversión de la forma polar a coordenadas cartesianas produce

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

Construcción por doble proyección

La construcción con regla y compás de varios puntos de la cisoide se realiza de la siguiente manera. Dada una línea $L$ y un punto $O$ que no está en $L$ , se construye la línea $L'$ que pasa por $O$ paralela a $L$ . Se elige un punto variable $P$ en $L$ y se construye $Q$ , la proyección ortogonal de $P$ en $L'$ , y luego $R$ , la proyección ortogonal de $Q$ en $OP$ . Entonces la cisoide es el lugar geométrico de los puntos $R$ .

Para ver esto, sea $O$ el origen y $L$ la línea $x = 2 a$ como se indicó anteriormente. Sea $P$ el punto $(2 a, 2 at)$ ; entonces $Q$ es $(0, 2 at)$ y la ecuación de la línea $OP$ es $y = tx$ . La línea que pasa por $Q$ perpendicular a $OP$ es

t(y-2at)+x=0.

Para encontrar el punto de intersección $R$ , establezca $y = tx$ en esta ecuación para obtener

{\begin{aligned}&t(tx-2at)+x=0,\ x(t^{2}+1)=2at^{2},\ x={\frac {2at^{2}}{t^{2}+1}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{t^{2}+1}}\end{aligned}}

cuales son las ecuaciones paramétricas dadas arriba.

Si bien esta construcción produce arbitrariamente muchos puntos en la cisoide, no puede trazar ningún segmento continuo de la curva.

La construcción de Newton

La siguiente construcción fue propuesta por Isaac Newton . Sea $J$ una línea y $B$ un punto que no está en $J.$ Sea $∠ BST$ un ángulo recto que se mueve de manera que $ST$ sea igual a la distancia de $B$ a $J$ y $T$ permanezca en $J$ , mientras que el otro cateto $BS$ se desliza a lo largo de $B.$ Entonces, el punto medio $P$ de $ST$ describe la curva.

Para ver esto, ^[1] sea la distancia entre $B$ y $J$ $2 a$ . Por traslación y rotación, tomemos $B = (-a, 0)$ y $J$ la línea $x = a$ . Sea $P = (x, y)$ y sea $ψ$ el ángulo entre $SB$ y el eje $x$ ; este es igual al ángulo entre $ST$ y $J$ . Por construcción, $PT = a$ , por lo que la distancia de $P$ a $J$ es $a sen ψ$ . En otras palabras $a - x = a sen ψ$ . Además, $SP = a$ es la coordenada $y$ de $(x, y)$ si se rota por un ángulo $ψ$ , por lo que $a = (x + a) sen ψ + y cos ψ$ . Después de la simplificación, esto produce ecuaciones paramétricas

x=a(1-\sin \psi ),\,y=a{\frac {(1-\sin \psi )^{2}}{\cos \psi }}.

Cambie los parámetros reemplazando $ψ$ con su complemento para obtener

x=a(1-\cos \psi ),\,y=a{\frac {(1-\cos \psi )^{2}}{\sin \psi }}

o, aplicando fórmulas de doble ángulo,

x=2a\sin ^{2}{\psi \over 2},\,y=a{\frac {4\sin ^{4}{\psi \over 2}}{2\sin {\psi \over 2}\cos {\psi \over 2}}}=2a{\frac {\sin ^{3}{\psi \over 2}}{\cos {\psi \over 2}}}.

Pero esta es una ecuación polar.

r=2a{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}

dado arriba con $θ = ψ /2$ .

Tenga en cuenta que, al igual que con la construcción de doble proyección, esto se puede adaptar para producir un dispositivo mecánico que genere la curva.

Problema de Delos

El geómetra griego Diocles utilizó la cisoide para obtener dos medias proporcionales a una razón dada . Esto significa que, dadas las longitudes $a$ y $b$ , la curva se puede utilizar para hallar $u$ y $v$ de modo que $a$ sea a $u$ como $u$ es a $v$ como $v$ es a $b$ , es decir, $a / u = u / v = v / b$ , como descubrió Hipócrates de Quíos . Como caso especial, esto se puede utilizar para resolver el problema de Delos: ¿cuánto debe aumentarse la longitud de un cubo para duplicar su volumen ? En concreto, si $a$ es el lado de un cubo y $b = 2 a$ , entonces el volumen de un cubo de lado $u$ es

u^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)\left({\frac {v}{u}}\right)\left({\frac {b}{v}}\right)=a^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)=2a^{3}

Por lo tanto, $u$ es el lado de un cubo con el doble del volumen del cubo original. Sin embargo, tenga en cuenta que esta solución no se rige por las reglas de construcción con regla y compás, ya que depende de la existencia de la cisoide.

Sean $a$ y $b$ dados. Se requiere hallar $u$ de manera que $u 3 = a 2 b$ , dando $u$ y $v = u 2 / a$ como medias proporcionales. Sea la cisoide

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

se construye como se indicó anteriormente, con $O$ como origen, $A$ como punto $(2 a, 0)$ , y $J$ como línea $x = a$ , también como se indicó anteriormente. Sea $C$ el punto de intersección de $J$ con $OA$ . A partir de la longitud dada $b$ , marque $B$ en $J$ de modo que $CB = b$ . Dibuje $BA$ y sea $P = (x, y)$ el punto donde interseca la cisoide. Dibuje $OP$ y sea que interseca $a J$ en $U$ . Entonces $u = CU$ es la longitud requerida.

Para ver esto, ^[2] reescribe la ecuación de la curva como

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}

y sea $N = (x, 0)$ , entonces $PN$ es la perpendicular a $OA$ que pasa por $P$ . De la ecuación de la curva,

{\overline {PN}}^{2}={\frac {{\overline {ON}}^{3}}{\overline {NA}}}.

De esto,

{\frac {{\overline {PN}}^{3}}{{\overline {ON}}^{3}}}={\frac {\overline {PN}}{\overline {NA}}}.

Por triángulos semejantes $PN / ON = UC / OC$ y $PN / NA = BC / CA$ . Por lo que la ecuación se convierte en

{\frac {{\overline {UC}}^{3}}{{\overline {OC}}^{3}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {CA}}},

entonces

{\frac {u^{3}}{a^{3}}}={\frac {b}{a}},\,u^{3}=a^{2}b

según sea necesario.

Animación de la construcción punto por punto de la cisoide de Diocles, utilizando 500 puntos seleccionados al azar.

Diocles no resolvió realmente el problema de Delos. La razón es que la cisoide de Diocles no se puede construir de manera perfecta, al menos no con regla y compás. Para construir la cisoide de Diocles, se construiría un número finito de sus puntos individuales y luego se conectarían todos estos puntos para formar una curva. (Un ejemplo de esta construcción se muestra a la derecha). El problema es que no hay una manera bien definida de conectar los puntos. Si están conectados por segmentos de línea, entonces la construcción estará bien definida, pero no será una cisoide de Diocles exacta, sino solo una aproximación. Del mismo modo, si los puntos están conectados con arcos circulares, la construcción estará bien definida, pero incorrecta. O simplemente se podría dibujar una curva directamente, tratando de calcular a ojo la forma de la curva, pero el resultado sería solo una suposición imprecisa.

Una vez que se ha dibujado el conjunto finito de puntos de la cisoide, entonces la línea $PC$ probablemente no intersecará uno de estos puntos exactamente, sino que pasará entre ellos, intersectando la cisoide de Diocles en algún punto cuya ubicación exacta no ha sido construida, sino solo aproximada. Una alternativa es seguir añadiendo puntos construidos a la cisoide que se acerquen cada vez más a la intersección con la línea $PC$ , pero el número de pasos puede muy bien ser infinito, y los griegos no reconocían las aproximaciones como límites de pasos infinitos (por lo que estaban muy desconcertados por las paradojas de Zenón ).

También se podría construir la cisoide de Diocles con una herramienta mecánica especialmente diseñada para ese fin, pero esto viola la regla de usar solo compás y regla. Esta regla se estableció por razones de coherencia lógica (axiomática). Permitir la construcción con nuevas herramientas sería como agregar nuevos axiomas , pero se supone que los axiomas son simples y evidentes por sí mismos, pero tales herramientas no lo son. Por lo tanto, según las reglas de la geometría sintética clásica , Diocles no resolvió el problema de Delos, que en realidad no se puede resolver por tales medios.

Como una curva de pedal

Un par de parábolas se enfrentan simétricamente: una arriba y otra abajo. Luego la parábola superior rueda sin deslizarse a lo largo de la inferior, y sus posiciones sucesivas se muestran en la animación. Luego el camino que traza el vértice de la parábola superior al rodar es una ruleta que se muestra en rojo, que es la cisoide de Diocles.

La curva pedal de una parábola con respecto a su vértice es una cisoide de Diocles. ^[3] Las propiedades geométricas de las curvas pedal en general producen varios métodos alternativos para construir la cisoide. Se trata de las envolventes de círculos cuyos centros se encuentran en una parábola y que pasan por el vértice de la parábola. Además, si se colocan dos parábolas congruentes vértice con vértice y una se hace rodar a lo largo de la otra, el vértice de la parábola rodante trazará la cisoide.

Inversión

La cisoide de Diocles también se puede definir como la curva inversa de una parábola con el centro de inversión en el vértice. Para comprobarlo, tomemos la parábola como x = y ² , en coordenadas polares o: $r\cos \theta =(r\sin \theta )^{2}$

r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\!\theta }}\,.

La curva inversa es así:

r={\frac {\sin ^{2}\!\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta ,

lo cual concuerda con la ecuación polar de la cisoide anterior.

Referencias

^ Véase Basset para la derivación, muchas otras fuentes dan la construcción.
^ La prueba es una versión ligeramente modificada de la dada en Basset.
^ J. Edwards (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan and Co., pág. 166, Ejemplo 3.

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Cissoid ".

J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 95, 98–100. ISBN. 0-486-60288-5.
Weisstein, Eric W. "Cisoide de Diocles". MathWorld .
"Cisoide de Diocles" en el Diccionario visual de curvas planas especiales
"Cisoide de Diocles" en el índice de curvas famosas de MacTutor
"Cisoide" en 2dcurves.com
"Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés)
"La cissoide" Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas Alfred Barnard Basset (1901) Cambridge pp. 85ff