Plantilla de cinco puntos

Un punto y sus cuatro vecinos más cercanos.

Una ilustración de la plantilla de cinco puntos en una y dos dimensiones (superior e inferior, respectivamente).

En análisis numérico , dada una cuadrícula en una o dos dimensiones, la plantilla de cinco puntos de un punto en la cuadrícula es una plantilla formada por el propio punto junto con sus cuatro "vecinos". Se utiliza para escribir aproximaciones en diferencias finitas a derivadas en puntos de la cuadrícula. Es un ejemplo de diferenciación numérica .

en una dimensión

En una dimensión, si el espacio entre puntos en la cuadrícula es h , entonces la plantilla de cinco puntos de un punto x en la cuadrícula es

$${\displaystyle \{x-2h,x-h,x,x+h,x+2h\}.}$$

primera derivada 1D

La primera derivada de una función f de una variable real en un punto x se puede aproximar usando una plantilla de cinco puntos como: ^[1]

$${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}}$$

El punto central f ( x ) en sí no está involucrado, solo los cuatro puntos vecinos.

Derivación

Esta fórmula se puede obtener escribiendo las cuatro series de Taylor de f ( x  ±  h ) y f ( x  ± 2 h ) hasta los términos de h ³ (o hasta los términos de h ⁵ para obtener también una estimación del error) y resolviendo este sistema de cuatro ecuaciones para obtener f  ′( x ). En realidad, tenemos en los puntos x  +  h y x  −  h :

$${\displaystyle f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).}$$

Evaluar nos da ${\displaystyle (E_{1+})-(E_{1-})}$

$${\displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).}$$

El término residual O ₁ ( h ⁴ ) debería ser del orden de h ⁵ en lugar de h ⁴ porque si los términos de h ⁴ se hubieran escrito en ( E ₁₊ ) y ( E ₁₋ ), se puede ver que se habrían cancelado entre sí por f ( x + h ) − f ( x − h ) . Pero para este cálculo, se deja así ya que el orden de estimación del error no se trata aquí (ver más abajo).

De manera similar, tenemos

$${\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })}$$

y nos da ${\displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}$

$${\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).}$$

Para eliminar los términos de ƒ ⁽³⁾ ( x ), calcula 8 × ( E ₁ ) − ( E ₂ )

$${\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})}$$

dando así la fórmula como la anterior. Nota: los coeficientes de f en esta fórmula, (8, -8,-1,1), representan un ejemplo específico del filtro Savitzky-Golay más general .

Estimación de errores

El error en esta aproximación es de orden h  ⁴ . Eso se puede ver en la expansión ^[2]

$${\displaystyle {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$$

que se puede obtener expandiendo el lado izquierdo de una serie de Taylor . Alternativamente, aplique la extrapolación de Richardson a la aproximación de la diferencia central en cuadrículas con espaciado 2 h y h . ${\displaystyle f'(x)}$

Derivadas 1D de orden superior

Las fórmulas de diferencia centrada para plantillas de cinco puntos que se aproximan a las derivadas segunda, tercera y cuarta son

$${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}}$$

Los errores en estas aproximaciones son O ( h ⁴ ), O ( h ² ) y O ( h ² ) respectivamente. ^[2]

Relación con los polinomios de interpolación de Lagrange

Como alternativa a derivar los pesos en diferencias finitas de la serie de Taylor, se pueden obtener derivando los polinomios de Lagrange.

$${\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},}$$

donde están los puntos de interpolación

$${\displaystyle x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.}$$

Entonces, el polinomio cuártico que interpola f ( x ) en estos cinco puntos es ${\displaystyle p_{4}(x)}$

$${\displaystyle p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)}$$

y su derivada es

$${\displaystyle p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).}$$

Entonces, la aproximación en diferencias finitas de f  ′( x ) en el punto medio x = x ₂ es

$${\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$$

La evaluación de las derivadas de los cinco polinomios de Lagrange en x = x ₂ da los mismos pesos que antes. Este método puede ser más flexible ya que la extensión a una cuadrícula no uniforme es bastante sencilla.

En dos dimensiones

En dos dimensiones, si por ejemplo el tamaño de los cuadrados en la cuadrícula es h por h , la plantilla de cinco puntos de un punto ( x ,  y ) en la cuadrícula es

$${\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},}$$

formando un patrón que también se llama quincunce . Esta plantilla se utiliza a menudo para aproximar el laplaciano de una función de dos variables:

$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$$

El error en esta aproximación es O ( h  ² ), ^[3] que puede explicarse de la siguiente manera:

De las plantillas de 3 puntos para la segunda derivada de una función con respecto a xey:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

Si asumimos : ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}}$$

Ver también

• Coeficiente de diferencias finitas  : coeficiente utilizado en la aproximación numérica
• Bucles de plantilla iterativos  : clase de algoritmosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Plantilla de nueve puntos
• Plantilla (análisis numérico)
• Salto de plantilla

Referencias

1. Sauer, Timoteo (2012). Análisis numérico . Pearson. pag. 250.ISBN​ 978-0-321-78367-7.
2. Abramowitz y Stegun, tabla 25.2
3. Abramowitz y Stegun, 25.3.30

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1970), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas , Dover. Novena impresión. Tabla 25.2.