Proximidad (matemáticas)

La proximidad es un concepto básico en topología y áreas relacionadas de las matemáticas . Intuitivamente, decimos que dos conjuntos están próximos si están arbitrariamente cerca uno del otro. El concepto se puede definir de forma natural en un espacio métrico donde se define una noción de distancia entre elementos del espacio, pero se puede generalizar a espacios topológicos donde no tenemos una forma concreta de medir distancias.

El operador de clausura cierra un conjunto dado al asignarlo a un conjunto cerrado que contiene el conjunto original y todos los puntos cercanos a él. El concepto de cercanía está relacionado con el de punto límite .

Definición

Dado un espacio métrico, un punto se llama cercano o próximo a un conjunto si ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(p,A)=0}$,

donde la distancia entre un punto y un conjunto se define como

${\displaystyle d(p,A):=\inf _{a\in A}d(p,a)}$

donde inf representa ínfimo . De manera similar, un conjunto se considera cercano a un conjunto si ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(B,A)=0}$

dónde

${\displaystyle d(B,A):=\inf _{b\in B}d(b,A)}$.

Propiedades

• Si un punto está cerca de un conjunto y un conjunto entonces y están cerca (¡lo inverso no es cierto!). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• La proximidad entre un punto y un conjunto se conserva mediante funciones continuas
• La proximidad entre dos conjuntos se conserva mediante funciones uniformemente continuas.

Relación de proximidad entre un punto y un conjunto

Sea un conjunto. Una relación entre los puntos de y los subconjuntos de es una relación de proximidad si satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Sean y dos subconjuntos de y un punto en . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

• Si entonces está cerca de . ${\displaystyle p\in A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$
• Si está cerca de entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \emptyset }$
• Si está cerca de y entonces está cerca de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$
• Si está cerca de entonces está cerca de o está cerca de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$
• si está cerca de y para cada punto , está cerca de , entonces está cerca de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$

Los espacios topológicos tienen una relación de proximidad incorporada: definir un punto como cercano a un subconjunto si y solo si está en la clausura de satisface las condiciones anteriores. Del mismo modo, dado un conjunto con una relación de proximidad, definir un punto como cercano a un subconjunto si y solo si está cerca de satisface los axiomas de clausura de Kuratowski . Por lo tanto, definir una relación de proximidad en un conjunto es exactamente equivalente a definir una topología en ese conjunto. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$

Relación de proximidad entre dos conjuntos

Sean , y conjuntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

• Si y están cerca entonces y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\neq \emptyset }$ ${\displaystyle B\neq \emptyset }$
• Si y están cerca entonces y están cerca ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
• Si y están cerca y entonces y están cerca ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\subset C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$
• Si y están cerca, entonces o bien y están cerca o bien y están cerca ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\cup C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$
• Si entonces y están cerca ${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Definición generalizada

La relación de proximidad entre un conjunto y un punto se puede generalizar a cualquier espacio topológico. Dado un espacio topológico y un punto , se dice que un conjunto es próximo a un conjunto si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \operatorname {cl} (A)={\overline {A}}}$

Para definir una relación de proximidad entre dos conjuntos la estructura topológica es demasiado débil y tenemos que utilizar una estructura uniforme . Dado un espacio uniforme , los conjuntos A y B se denominan próximos entre sí si intersecan todos los entornos , es decir, para cualquier entorno U , ( A × B )∩ U no está vacío.

Véase también

• Espacio topológico
• Espacio uniforme

Referencias

1. Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS Topología general I: conceptos básicos y construcciones, teoría de la dimensión. Enciclopedia de ciencias matemáticas (libro 17), Springer 1990, pág. 9.