En mecánica clásica , una fuerza central sobre un objeto es una fuerza que se dirige hacia o desde un punto llamado centro de fuerza . [a] [1] : 93 donde es la fuerza, F es una función de fuerza de valor vectorial , F es una función de fuerza de valor escalar, r es el vector de posición , || r || es su longitud, y es el vector unitario correspondiente .
No todos los campos de fuerza centrales son conservativos o esféricamente simétricos . Sin embargo, una fuerza central es conservativa si y solo si es esféricamente simétrica o rotacionalmente invariante. [1] : 133–38
Las fuerzas centrales que son conservativas siempre se pueden expresar como el gradiente negativo de una energía potencial : (el límite superior de integración es arbitrario, ya que el potencial se define hasta una constante aditiva).
En un campo conservativo, la energía mecánica total ( cinética y potencial) se conserva: (donde ' ṙ ' denota la derivada de ' r ' con respecto al tiempo, es decir la velocidad , ' I ' denota el momento de inercia de ese cuerpo y ' ω ' denota la velocidad angular ), y en un campo de fuerza central, también lo es el momento angular : porque el par ejercido por la fuerza es cero. En consecuencia, el cuerpo se mueve en el plano perpendicular al vector del momento angular y que contiene el origen, y obedece la segunda ley de Kepler . (Si el momento angular es cero, el cuerpo se mueve a lo largo de la línea que lo une con el origen.)
También se puede demostrar que un objeto que se mueve bajo la influencia de cualquier fuerza central obedece la segunda ley de Kepler. Sin embargo, la primera y la tercera leyes dependen de la naturaleza del inverso del cuadrado de la ley de gravitación universal de Newton y no se cumplen en general para otras fuerzas centrales.
Como consecuencia de ser conservativos, estos campos de fuerza centrales específicos son irrotacionales, es decir, su rizo es cero, excepto en el origen :
La fuerza gravitacional y la fuerza de Coulomb son dos ejemplos conocidos de proporcionalidad únicamente a 1/ r 2 . Un objeto en un campo de fuerza de este tipo con negativo (que corresponde a una fuerza de atracción) obedece las leyes de Kepler del movimiento planetario .
El campo de fuerza de un oscilador armónico espacial es central, proporcional únicamente a r y negativo.
Según el teorema de Bertrand , estos dos campos de fuerza, y , son los únicos posibles campos de fuerza centrales en los que todas las órbitas acotadas son órbitas cerradas estables. Sin embargo, existen otros campos de fuerza que tienen algunas órbitas cerradas.
