En matemáticas , una categoría C *-autónoma (léase "estrella-autónoma") es una categoría cerrada monoidal simétrica equipada con un objeto dualizador . El concepto también se conoce como categoría Grothendieck-Verdier en vista de su relación con la noción de dualidad de Verdier .
Sea C una categoría cerrada monoidal simétrica. Para cualquier objeto A y , existe un morfismo
definida como la imagen por la biyección que define el cierre monoide
del morfismo
¿Dónde está la simetría del producto tensorial? Un objeto de la categoría C se llama dualizante cuando el morfismo asociado es un isomorfismo para todo objeto A de la categoría C.
De manera equivalente, una categoría *-autónoma es una categoría monoidal simétrica C junto con un funtor tal que para cada objeto A hay un isomorfismo natural , y para cada tres objetos A , B y C hay una biyección natural
El objeto dualizador de C se define entonces por . La equivalencia de las dos definiciones se muestra identificando .
Las categorías cerradas compactas son *-autónomas, con la unidad monoidal como objeto dualizador. Por el contrario, si la unidad de una categoría *-autónoma es un objeto dualizante, entonces existe una familia canónica de mapas.
Todos estos son isomorfismos si y sólo si la categoría *-autónoma es compacta cerrada.
Un ejemplo familiar es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre cualquier campo k hecho monoidal con el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales. El objeto dualizador es k , el espacio vectorial unidimensional, y la dualización corresponde a la transposición. Aunque la categoría de todos los espacios vectoriales sobre k no es *-autónoma, se pueden hacer extensiones adecuadas a las categorías de espacios vectoriales topológicos *-autónomos.
Por otro lado, la categoría de espacios vectoriales topológicos contiene una subcategoría completa extremadamente amplia, la categoría Ste de espacios estereotipados , que es una categoría *-autónoma con el objeto dualizante y el producto tensorial .
Varios modelos de lógica lineal forman categorías *-autónomas, la primera de las cuales fue la categoría de espacios de coherencia de Jean-Yves Girard .
La categoría de semiredes completas con morfismos que conservan todas las uniones pero que no necesariamente se cumplen es * -autónoma del dualizador de la cadena de dos elementos. Un ejemplo degenerado (todos los homsets de cardinalidad como máximo uno) lo da cualquier álgebra booleana (como un conjunto parcialmente ordenado ) hecha monoidal usando conjunción para el producto tensorial y tomando 0 como objeto dualizador.
El formalismo de la dualidad de Verdier ofrece más ejemplos de categorías *-autónomas. Por ejemplo, Boyarchenko y Drinfeld (2013) mencionan que la categoría derivada acotada de haces l-ádicos construibles en una variedad algebraica tiene esta propiedad. Otros ejemplos incluyen categorías derivadas de gavillas construibles en varios tipos de espacios topológicos.
Un ejemplo de una categoría autodual que no es *-autónoma son los órdenes lineales finitos y funciones continuas, que tiene * pero no es autónoma: su objeto dualizante es la cadena de dos elementos pero no hay producto tensorial.
La categoría de conjuntos y sus inyecciones parciales es autodual porque lo contrario de estos últimos es nuevamente una inyección parcial.
El concepto de categoría *-autónoma fue introducido por Michael Barr en 1979 en una monografía con ese título. Barr definió la noción para la situación más general de V -categorías, categorías enriquecidas en una categoría V monoidea o autónoma simétrica . La definición anterior especializa la definición de Barr al caso V = Conjunto de categorías ordinarias, aquellas cuyos homoobjetos forman conjuntos (de morfismos). La monografía de Barr incluye un apéndice de su alumno Po-Hsiang Chu que desarrolla los detalles de una construcción debida a Barr que muestra la existencia de categorías V no triviales *-autónomas para todas las categorías monoidales simétricas V con retrocesos, cuyos objetos se conocieron una década más tarde como Espacios Chu .
En una categoría monoide bicerrada C , no necesariamente simétrica, todavía es posible definir un objeto dualizante y luego definir una categoría *-autónoma como una categoría monoide bicerrada con un objeto dualizante. Son definiciones equivalentes, como en el caso simétrico.
