Ecuación característica (cálculo)

Ecuación algebraica de la que depende la solución de una ecuación diferencial

En matemáticas , la ecuación característica (o ecuación auxiliar ^[1] ) es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n [ ^2] o ecuación en diferencias dada . ^{[3] [4]} La ecuación característica sólo puede formarse cuando la ecuación diferencial o en diferencias es lineal y homogénea , y tiene coeficientes constantes . _[ ^1] Tal ecuación diferencial, con y como variable dependiente , superíndice ( n ) que denota n - ^ésima derivada , y an , an  _{− 1 ,} ..., a ₁ , a ₀ como constantes,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

tendrá una ecuación característica de la forma

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

cuyas soluciones r ₁ , r ₂ , ..., r _n son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general . ^{[1] [5] [6]} De manera análoga, una ecuación en diferencias lineal de la forma

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

tiene ecuación característica

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

discutido con más detalle en Recurrencia lineal con coeficientes constantes .

Las raíces características ( raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución describe la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y sólo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones en diferencias, hay estabilidad si y sólo si el módulo de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas .

El método de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler , quien descubrió que las soluciones dependían de una ecuación algebraica "característica". ^[2] Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron posteriormente consideradas con mayor detalle por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge . ^{[2] [6]}

Derivación

Comenzando con una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes a _n , a _{n  − 1} , ..., a ₁ , a ₀ ,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,}$

se puede observar que si y ( x ) = e ^rx , cada término sería un múltiplo constante de e ^rx . Esto resulta del hecho de que la derivada de la función exponencial e ^rx es múltiplo de sí misma. Por lo tanto, y ′ = re ^rx , y ″ = r ² e ^rx e y ^{( n )} = r ⁿ e ^rx son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de r permitirán que múltiplos de e ^rx sumen cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea. ^[5] Para resolver r , se puede sustituir y = e ^rx y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

Como e ^rx nunca puede ser igual a cero, se puede dividir, dando la ecuación característica

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

Resolviendo las raíces, r , en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general de la ecuación diferencial. ^{[1] [6]} Por ejemplo, si r tiene raíces iguales a 3, 11 y 40, entonces la solución general será , donde , y son constantes arbitrarias que deben ser determinadas por las condiciones de contorno y/o iniciales. ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

Formación de la solución general.

Resolver la ecuación característica para sus raíces, r ₁ , ..., r _n , permite encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas , así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, h raíces repetidas o k raíces complejas correspondientes a soluciones generales de y _D ( x ) , y _{R 1} ( x ), ..., y _{R h} ( x ) e y _{C 1} ( x ), ..., y _{C k} ( x ) , respectivamente, entonces la solución general de la ecuación diferencial es

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

Ejemplo

La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

tiene la ecuación característica

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

Al factorizar la ecuación característica en

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

Se puede ver que las soluciones para r son la raíz única distinta r _​​1 = 3 y las raíces complejas dobles r _2,3,4,5 = 1 ±  i . Esto corresponde a la solución general de valor real.

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

con constantes c ₁ , ..., c ₅ .

Raíces reales distintas

El principio de superposición para homogéneos lineales dice que si u ₁ , ..., u _n son n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial particular, entonces c ₁ u ₁ + ⋯ + c _n u _n también es una solución para todos los valores c ₁ , ..., c _n . ^{[1] [7]} Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas r ₁ , ..., r _n , entonces una solución general será de la forma

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$

Raíces reales repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz r ₁ que se repite k veces, entonces está claro que y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} es al menos una solución. ^[1] Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras raíces k  − 1 . Dado que r ₁ tiene multiplicidad k , la ecuación diferencial se puede factorizar en ^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

El hecho de que y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} sea una solución permite suponer que la solución general puede ser de la forma y ( x ) = u ( x ) e ^{r ₁ x} , donde u ( x ) es una función por determinar. Sustituyendo ue ^{r ₁ x} se obtiene

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

cuando k  = 1 . Aplicando este hecho k veces, se deduce que

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

Al dividir e ^{r ₁ x} , se puede ver que

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

Por lo tanto, el caso general para u ( x ) es un polinomio de grado k  − 1 , de modo que u ( x ) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ x ² + ⋯ + c _k x ^{k  −1} . ^[6] Dado que y ( x ) = ue ^{r ₁ x} , la parte de la solución general correspondiente a r ₁ es

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).}$

Raíces complejas

Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces conjugadas complejas de la forma r ₁ = a + bi y r ₂ = a − bi , entonces la solución general es y ( x ) = c ₁ e ^{( a + bi  ) x} + c ₂ mi ^{( una − bi  ) x} . Según la fórmula de Euler , que establece que e ^iθ = cos  θ + i sin  θ , esta solución se puede reescribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

donde c ₁ y c ₂ son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales. ^[6] (De hecho, dado que y ( x ) es real, c ₁ − c ₂ debe ser imaginario o cero y c ₁ + c ₂ debe ser real, para que ambos términos después del último signo igual sean reales).

Por ejemplo, si c ₁ = c ₂ =1/2, entonces se forma la solución particular y ₁ ( x ) = e ^ax cos  bx . De manera similar, si c ₁ =1/2 yoy c ₂ = −1/2 yo, entonces la solución independiente formada es y ₂ ( x ) = e ^ax sen  bx . Así, según el principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas , una ecuación diferencial de segundo orden que tenga raíces complejas r  =  a ± bi dará como resultado la siguiente solución general:

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)}$

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Ver también

• Polinomio característico

Referencias

1. Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). "Capítulo 3". Ecuaciones diferenciales: informática y modelado . David Calvis. Upper Saddle River , Nueva Jersey : Pearson Education. págs. 156-170. ISBN 978-0-13-600438-7.
2. Smith, David Eugene. "Historia de las Matemáticas Modernas: Ecuaciones Diferenciales". Universidad del Sur de Florida .
3. Baumol, William J. (1970). Dinámica económica (3ª ed.). pag. 172.
4. Chiang, Alfa (1984). Métodos fundamentales de la economía matemática (3ª ed.). págs.578, 600. ISBN 9780070107809.
5. Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales con coeficientes constantes". eFunda . Consultado el 1 de marzo de 2011 .
6. Cohen, Abraham (1906). Un tratado elemental sobre ecuaciones diferenciales. DC Heath y compañía .
7. Dawkins, Pablo. "Terminología de ecuaciones diferenciales". Notas de matemáticas en línea de Paul . Consultado el 2 de marzo de 2011 .