En teoría de números , un cuerpo numérico F se denomina totalmente real si, para cada inserción de F en los números complejos, la imagen se encuentra dentro de los números reales . Las condiciones equivalentes son que F se genere sobre Q por una raíz de un polinomio entero P , siendo todas las raíces de P reales; o que el álgebra del producto tensorial de F con el cuerpo real, sobre Q , sea isomorfa a una potencia tensorial de R.
Por ejemplo, los cuerpos cuadráticos F de grado 2 sobre Q son reales (y entonces totalmente reales), o complejos, dependiendo de si la raíz cuadrada de un número positivo o negativo está adjunta a Q. En el caso de cuerpos cúbicos , un polinomio cúbico entero P irreducible sobre Q tendrá al menos una raíz real. Si tiene una raíz real y dos raíces complejas, la extensión cúbica correspondiente de Q definida por la adjuntación de la raíz real no será totalmente real, aunque sea un cuerpo de números reales.
Los cuerpos de números totalmente reales desempeñan un papel especial y significativo en la teoría algebraica de números . Una extensión abeliana de Q es totalmente real o contiene un subcuerpo totalmente real sobre el cual tiene grado dos.
Cualquier cuerpo de números que sea Galois sobre los racionales debe ser totalmente real o totalmente imaginario .