Camino libre medio inelástico

Índice de qué tan lejos viajan los electrones a través de un sólido antes de perder energía

El camino libre medio inelástico ( IMFP ) es un índice de qué tan lejos viaja en promedio un electrón a través de un sólido antes de perder energía.

Curva universal para el camino libre medio inelástico del electrón en elementos basado en la ecuación (5) en. ^[1]

Si un haz primario monocromático de electrones incide sobre una superficie sólida, la mayoría de los electrones incidentes pierden su energía porque interactúan fuertemente con la materia , lo que lleva a la excitación del plasmón , la formación de pares electrón-hueco y la excitación vibratoria. ^[2] La intensidad de los electrones primarios, I ₀ , se amortigua en función de la distancia, d , hacia el sólido. La caída de intensidad se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle I(d)=I_{0}\ e^{-d\ /\lambda (E)}}$

donde I ( d ) es la intensidad después de que el haz de electrones primario ha viajado a través del sólido a una distancia d . El parámetro λ( E ) , denominado camino libre medio inelástico (IMFP), se define como la distancia que puede recorrer un haz de electrones antes de que su intensidad decaiga a 1/ e de su valor inicial. (Tenga en cuenta que esta ecuación está estrechamente relacionada con la ley de Beer-Lambert ).

El camino libre medio inelástico de los electrones puede describirse aproximadamente mediante una curva universal que es la misma para todos los materiales. ^{[1] [3]}

El conocimiento del IMFP es indispensable para varias mediciones de espectroscopía y microscopía electrónica . ^[4]

Aplicaciones del IMFP en XPS

A continuación, ^[5] se emplea el IMFP para calcular la longitud de atenuación efectiva (EAL), la profundidad de escape media (MED) y la profundidad de información (ID). Además, se puede utilizar el IMFP para realizar correcciones matriciales para el factor de sensibilidad relativa en el análisis cuantitativo de superficies. Además, el IMFP es un parámetro importante en las simulaciones de Monte Carlo del transporte de fotoelectrones en la materia.

Cálculos del IMFP

Los cálculos del IMFP se basan principalmente en el algoritmo (algoritmo completo de Penn, FPA) desarrollado por Penn, ^[6] constantes ópticas experimentales o datos ópticos calculados (para compuestos). ^[5] La FPA considera un evento de dispersión inelástica y la dependencia de la función de pérdida de energía (EFL) de la transferencia de momento, que describe la probabilidad de dispersión inelástica en función de la transferencia de momento. ^[5]

Mediciones experimentales del IMFP.

Para medir el IMFP, un método bien conocido es la espectroscopia electrónica de pico elástico (EPES). ^{[5] [7]} Este método mide la intensidad de los electrones retrodispersados ​​elásticamente con una cierta energía de un material de muestra en una dirección determinada. Aplicando una técnica similar a materiales cuyo IMFP se conoce, las mediciones se comparan con los resultados de las simulaciones de Monte Carlo en las mismas condiciones. Así, se obtiene el IMFP de un determinado material en un determinado espectro energético. Las mediciones de EPES muestran una diferencia de raíz cuadrática media (RMS) entre el 12% y el 17% de los valores teóricos esperados. ^[5] Los resultados calculados y experimentales muestran una mayor concordancia para energías más altas. ^[5]

Para energías de electrones en el rango de 30 keV – 1 MeV, IMFP se puede medir directamente mediante espectroscopia de pérdida de energía de electrones dentro de un microscopio electrónico de transmisión , siempre que se conozca el espesor de la muestra. Tales mediciones revelan que IMFP en sólidos elementales no es una función suave, sino oscilatoria del número atómico . ^[8]

Para energías inferiores a 100 eV, IMFP se puede evaluar en experimentos de rendimiento de electrones secundarios (SEY) de alta energía. ^[9] Por lo tanto, se analiza el SEY para una energía incidente arbitraria entre 0,1 keV-10 keV. Según estos experimentos, se puede utilizar un modelo de Monte Carlo para simular los SEY y determinar el IMFP por debajo de 100 eV.

Fórmulas predictivas

Utilizando el formalismo dieléctrico, ^[4] el IMFP se puede calcular resolviendo la siguiente integral: ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$

con la pérdida de energía mínima (máxima) ( ), la función dieléctrica , la función de pérdida de energía (ELF) y la transferencia de momento más pequeña y más grande . En general, resolver esta integral es bastante desafiante y sólo se aplica para energías superiores a 100 eV. Así, se introdujeron fórmulas (semi)empíricas para determinar el IMFP. ${\displaystyle \omega _{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle \omega _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} ({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega )}})}$ ${\displaystyle k_{\pm }={\sqrt {2E}}\pm {\sqrt {2(E-\omega )}}}$

Un primer enfoque consiste en calcular el IMFP mediante una forma aproximada de la ecuación relativista de Bethe para la dispersión inelástica de electrones en la materia. ^{[5] [10]} La ecuación 2 es válida para energías entre 50 eV y 200 keV:

con

${\displaystyle \alpha (E)={\frac {1+{\frac {E}{2m_{e}c^{2}}}}{1+{\frac {E}{m_{e}c^{2}}}}}={\frac {1+{\frac {E}{1021}}999.8}{(1+{\frac {E}{510}}998.9)^{2}}}}$

y

${\displaystyle E_{p}=28.816\left({\frac {N_{\nu }\rho }{M}}\right)^{0.5}(\mathrm {eV} )}$

y la energía del electrón en eV por encima del nivel de Fermi (conductores) o por encima del fondo de la banda de conducción (no conductores). es la masa del electrón, la velocidad en el vacío de la luz, es el número de electrones de valencia por átomo o molécula, describe la densidad (en ), es el peso atómico o molecular y , y son parámetros determinados a continuación. La ecuación 2 calcula el IMFP y su dependencia de la energía de los electrones en la materia condensada. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle N_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {g}{cm^{3}}} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

La ecuación 2 se desarrolló aún más ^{[5] [11]} para encontrar las relaciones para los parámetros , y para energías entre 50 eV y 2 keV: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle \gamma =0.191\rho ^{-0.5}(\mathrm {eV^{-1}} )}$
• ${\displaystyle C=19.7-9.1U(\mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle D=534-208U(\mathrm {eV} \mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle U={\frac {N_{\nu }\rho }{M}}=(E_{p}/28.816)^{2}}$

Aquí, la energía de banda prohibida se da en eV. Las ecuaciones 2 y 3 también se conocen como ecuaciones TTP-2M y, en general, son aplicables para energías entre 50 eV y 200 keV. Despreciando algunos materiales (diamante, grafito, Cs, BN cúbico y BN hexagonal) que no siguen estas ecuaciones (debido a desviaciones en ), las ecuaciones del TTP-2M muestran una concordancia precisa con las mediciones. ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle \beta }$

Otro enfoque basado en la Ecuación 2 para determinar el IMFP es la fórmula S1. ^{[5] [12]} Esta fórmula se puede aplicar para energías entre 100 eV y 10 keV:

${\displaystyle \lambda ^{-1}={\frac {(4+0.44Z^{0.5}+0.104E^{0.872})a^{1.7}}{Z^{0.3}(1-W)}}}$

con el número atómico (número atómico promedio de un compuesto), o ( es el calor de formación de un compuesto en eV por átomo) y el espaciado atómico promedio : ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W=0.06H}$ ${\displaystyle W=0.02E_{g}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {10^{21}M}{\rho N_{A}(g+h)}}(\mathrm {nm^{3}} )}$

con la constante de Avogadro y los coeficientes estequiométricos y describiendo compuestos binarios . En este caso, el número atómico se convierte en ${\displaystyle N_{A}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{g}H_{h}}$

${\displaystyle Z={\frac {gZ_{g}+hZ_{h}}{g+h}}}$

con los números atómicos y de los dos constituyentes. Esta fórmula S1 muestra una mayor concordancia con las mediciones en comparación con la Ecuación 2 . ^[5] ${\displaystyle Z_{g}}$ ${\displaystyle Z_{h}}$

Calcular el IMFP con la fórmula TTP-2M o la fórmula S1 requiere un conocimiento diferente de algunos parámetros. ^[5] Al aplicar la fórmula TTP-2M es necesario conocer , y para materiales conductores (y también para no conductores). Al emplear la fórmula S1, se requiere conocimiento del número atómico (número atómico promedio para compuestos) para los conductores. Si se consideran materiales no conductores, también es necesario saber o . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N_{\nu }}$ ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle H}$

En 2021 se propuso una fórmula analítica para calcular el IMFP hasta 50 eV. ^[4] Por lo tanto, se agregó un término exponencial a una fórmula analítica ya derivada de 1 que era aplicable para energías hasta 500 eV:

Para electrones relativistas se cumple:

con la velocidad del electrón , y . denota la velocidad de la luz. y se dan en nanómetros. Las constantes en 4 y 5 se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{2}=c^{2}\tau (\tau +2)/(\tau +1)^{2}}$ ${\displaystyle \tau =E/c^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a_{0}}$

• ${\displaystyle A=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\,d\omega }$
• ${\displaystyle A\ln {(I)}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\ln {(\omega )}\,d\omega }$
• ${\displaystyle C=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\omega \,d\omega }$

datos del IMFP

Los datos IMFP se pueden recopilar de la base de datos de trayectoria libre media inelástica de electrones del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) ^[13] o de la base de datos NIST para la simulación de espectros electrónicos para análisis de superficies (SESSA). ^[14] Los datos contienen IMFP determinados por EPES para energías inferiores a 2 keV. De lo contrario, los IMFP se pueden determinar a partir de la fórmula TPP-2M o S1. ^[5]

Ver también

• Ley de Beer-Lambert
• Teoría de la dispersión

Referencias

1. Seah, diputado; Dench, WA (1979), "Espectroscopia electrónica cuantitativa de superficies: una base de datos estándar para caminos libres medios inelásticos de electrones en sólidos", Análisis de superficies e interfaces , 1 : 2–11, doi :10.1002/sia.740010103
2. Egerton, RF (1996) Espectroscopia electrónica de pérdida de energía en el microscopio electrónico (Segunda edición, Plenum Press, NY) ISBN 0-306-45223-5 
3. Werner, Wolfgang SM (2001), "Revisión del transporte de electrones en sólidos", Análisis de superficie e interfaz , 31 (3): 141–176, doi :10.1002/sia.973, S2CID  95869994
4. Le, Dai-Nam; Nguyen-Truong, Hieu T. (2021). "Fórmula analítica para la trayectoria libre media inelástica del electrón". La Revista de Química Física C. 125 (34): 18946–18951. doi :10.1021/acs.jpcc.1c05212. S2CID  238685492.
5. Powell, Cedric J. (2020). "Guía práctica para caminos libres medios inelásticos, longitudes de atenuación efectivas, profundidades de escape medias y profundidades de información en espectroscopia de fotoelectrones de rayos X". Revista de ciencia y tecnología del vacío A. 38 (23209).
6. Penn, DR (1987). "Cálculos del camino libre medio de electrones utilizando un modelo de función dieléctrica". Física. Rev. B. 35 (482): 482–486. Código bibliográfico : 1987PhRvB..35..482P. doi : 10.1103/PhysRevB.35.482. PMID  9941428.
7. Powell, CJ; Jablonski, A. (1999). "Evaluación de trayectorias libres medias inelásticas de electrones calculadas y medidas cerca de superficies sólidas". J. Física. Química. Árbitro. Datos . 28 (1): 19–28. Código Bib : 1999JPCRD..28...19P. doi : 10.1063/1.556035.
8. Iakoubovskii, Konstantin; Mitsuishi, Kazutaka; Nakayama, Yoshiko; Furuya, Kazuo (2008). "Camino libre medio de dispersión inelástica de electrones en sólidos y óxidos elementales mediante microscopía electrónica de transmisión: comportamiento oscilatorio dependiente del número atómico". Revisión física B. 77 (10): 104102. Código bibliográfico : 2008PhRvB..77j4102I. doi : 10.1103/PhysRevB.77.104102.
9. Ridzel, Olga Yu.; Astasauskas, Vitautas; Werner, Wolfgang SM (2020). "Valores medios de trayectoria libre inelásticos de electrones de baja energía determinados a partir del análisis de los rendimientos de electrones secundarios en el rango de energía incidente de 0,1 a 10 keV". Revista de espectroscopia electrónica y fenómenos relacionados . 241 : 146824. doi : 10.1016/j.elspec.2019.02.003 . S2CID  104369752.
10. Shinotsuka, H.; Tanuma, S.; Powell, CJ; Penn, DR (2015). "Cálculos de caminos libres medios inelásticos de electrones. X. Datos de 41 sólidos elementales en el rango de 50 eV a 200 keV con el algoritmo relativista de Penn completo". Análisis de superficies y de interfaces . 47 (9): 871. doi : 10.1002/sia.5789. S2CID  93935648.
11. Tanuma, S.; Powell, CJ; Penn, DR (1994). "Cálculos de caminos libres medios inelásticos de electrones. V. Datos de 14 compuestos orgánicos en el rango de 50 a 2000 eV". Análisis de superficies y de interfaces . 21 (3): 165-176. doi :10.1002/sia.740210302.
12. Seah, diputado (2012). "Una curva universal precisa y simple para el camino libre medio inelástico del electrón dependiente de la energía". Análisis de superficies y de interfaces . 44 (4): 497. doi :10.1002/sia.4816. S2CID  93786577.
13. Powell, CJ; Jablonski, A. (2000). "Base de datos de trayectoria libre media inelástica de electrones del NIST". Base de datos de referencia estándar del NIST 71 .
14. Werner, WSM; Smekal, W.; Powell, CJ (2018). "Base de datos NIST para la simulación de espectros electrónicos para análisis de superficies, versión 2.1". NIST NSRDS 100 .