Código dual

En la teoría de codificación , el código dual de un código lineal

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

es el código lineal definido por

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}}$

dónde

${\displaystyle \langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}$

es un producto escalar. En términos de álgebra lineal , el código dual es el aniquilador de C con respecto a la forma bilineal . La dimensión de C y su dual siempre suman la longitud n : ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle \dim C+\dim C^{\perp }=n.}$

Una matriz generadora del código dual es la matriz de comprobación de paridad del código original y viceversa. El dual del código dual es siempre el código original.

Códigos auto-duales

Un código autodual es aquel que es su propio dual. Esto implica que n es par y dim C = n /2. Si un código autodual es tal que el peso de cada palabra de código es un múltiplo de alguna constante , entonces es de uno de los siguientes cuatro tipos: ^[1] ${\displaystyle c>1}$

• Los códigos de tipo I son códigos binarios autoduales que no son doblemente pares . Los códigos de tipo I son siempre pares (cada palabra de código tiene un peso Hamming par ).
• Los códigos de tipo II son códigos binarios autoduales que son doblemente pares.
• Los códigos de tipo III son códigos ternarios autoduales. Cada palabra de código en un código de tipo III tiene un peso de Hamming divisible por 3.
• Los códigos de tipo IV son códigos autoduales sobre F ₄ . Estos son nuevamente pares.

Los códigos de los tipos I, II, III o IV sólo existen si la longitud n es un múltiplo de 2, 8, 4 o 2 respectivamente.

Si un código autodual tiene una matriz generadora de la forma , entonces el código dual tiene matriz generadora , donde es la matriz identidad y . ${\displaystyle G=[I_{k}|A]}$ ${\displaystyle C^{\perp }}$ ${\displaystyle [-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle (n/2)\times (n/2)}$ ${\displaystyle {\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}}$

Referencias

1. Conway, JH ; Sloane, Nueva Jersey (1988). Empaquetamientos de esferas, celosías y grupos. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 290. Springer-Verlag . pag. 77.ISBN​ 0-387-96617-X.

• Hill, Raymond (1986). Un primer curso de teoría de la codificación . Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press . pág. 67. ISBN. 0-19-853803-0.
• Pless, Vera (1982). Introducción a la teoría de códigos correctores de errores . Serie Wiley-Interscience en Matemáticas discretas. John Wiley & Sons . pág. 8. ISBN. 0-471-08684-3.
• JH van Lint (1992). Introducción a la teoría de la codificación. GTM . Vol. 86 (2.ª ed.). Springer-Verlag. pág. 34. ISBN. 3-540-54894-7.

Enlaces externos

• MATH32031: Teoría de la codificación - Código dual - pdf con algunos ejemplos y explicaciones