Código de Steane

Código para corrección cuántica

El código Steane es una herramienta de corrección de errores cuánticos introducida por Andrew Steane en 1996. Es un código CSS (Calderbank-Shor-Steane) que utiliza el código binario clásico de Hamming [7,4,3] para corregir tanto los errores de inversión de cúbits (errores X) como los errores de inversión de fase (errores Z). El código Steane codifica un cúbit lógico en 7 cúbits físicos y es capaz de corregir errores arbitrarios de un solo cúbit.

Su matriz de comprobación en forma estándar es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}}$

donde H es la matriz de comprobación de paridad del código Hamming y está dada por

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.}$

El código de Steane es el primero de la familia de códigos Hamming cuánticos, códigos con parámetros para números enteros . También es un código de colores cuántico. ${\displaystyle [[7,1,3]]}$ ${\displaystyle [[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]}$ ${\displaystyle r\geq 3}$

Expresión en el formalismo estabilizador

En un código de corrección de errores cuánticos, el espacio de códigos es el subespacio del espacio de Hilbert general donde viven todos los estados lógicos. En un código estabilizador de -qubit , podemos describir este subespacio por su grupo estabilizador de Pauli, el conjunto de todos los operadores de Pauli de -qubit que estabilizan cada estado lógico. El formalismo estabilizador nos permite definir el espacio de códigos de un código estabilizador especificando su grupo estabilizador de Pauli. Podemos describir de manera eficiente este grupo exponencialmente grande enumerando sus generadores . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dado que el código Steane codifica un qubit lógico en 7 qubits físicos, el espacio de códigos para el código Steane es un subespacio -dimensional de su espacio de Hilbert -dimensional. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2^{7}}$

En el formalismo estabilizador , el código de Steane tiene 6 generadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que cada uno de los generadores anteriores es el producto tensorial de siete operaciones de Pauli de un solo cúbit. Por ejemplo, es simplemente una abreviatura de , es decir, una identidad en los primeros tres cúbits y una compuerta en cada uno de los últimos cuatro cúbits. Los productos tensoriales suelen omitirse en la notación para abreviar. ${\displaystyle IIIXXXX}$ ${\displaystyle I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X}$ ${\displaystyle X}$

Las puertas lógicas y son ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{aligned}}}$

Los estados lógicos y del código de Steane son ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +|1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}}$

Los estados de código arbitrarios tienen la forma . ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}}$

Referencias

• Steane, Andrew (1996). "Interferencia de partículas múltiples y corrección de errores cuánticos". Proc. R. Soc. Lond. A . 452 (1954): 2551–2577. arXiv : quant-ph/9601029 . Código Bibliográfico :1996RSPSA.452.2551S. doi :10.1098/rspa.1996.0136. S2CID  8246615.