El cálculo visual , inventado por Mamikon Mnatsakanian (conocido como Mamikon), es un método para resolver diversos problemas de cálculo integral . [1] Muchos problemas que de otro modo parecerían bastante difíciles se resuelven con este método sin apenas una línea de cálculo. Mamikon colaboró con Tom Apostol en el libro de 2013 New Horizons in Geometry, en el que se describe el tema.
Mamikon ideó su método en 1959, cuando era estudiante universitario, y lo aplicó por primera vez a un conocido problema de geometría: hallar el área de un anillo ( anillo ), dada la longitud de una cuerda tangente a la circunferencia interior. Aunque parezca sorprendente, no se necesita información adicional; la solución no depende de las dimensiones internas y externas del anillo.
El enfoque tradicional implica el álgebra y la aplicación del teorema de Pitágoras . Sin embargo, el método de Mamikon prevé una construcción alternativa del anillo: primero se dibuja solo el círculo interior y luego se hace que una tangente de longitud constante recorra su circunferencia, "barriendo" el anillo a medida que avanza.
Ahora bien, si todas las tangentes (de longitud constante) utilizadas para construir el anillo se trasladan de modo que sus puntos de tangencia coincidan, el resultado es un disco circular de radio conocido (y área fácilmente calculable). De hecho, dado que el radio del círculo interior es irrelevante, uno podría haber comenzado con un círculo de radio cero (un punto), y barrer un anillo alrededor de un círculo de radio cero es indistinguible de simplemente rotar un segmento de línea alrededor de uno de sus puntos finales y barrer un disco.
La idea de Mamikon fue reconocer la equivalencia de las dos construcciones y, como son equivalentes, dan como resultado áreas iguales. Además, las dos curvas iniciales no tienen por qué ser circulares, un hallazgo que no se puede demostrar fácilmente con métodos geométricos más tradicionales. Esto da como resultado el teorema de Mamikon :
El área de una cicloide se puede calcular considerando el área entre ella y un rectángulo que la encierra. Todas estas tangentes se pueden agrupar para formar un círculo. Si el círculo que genera la cicloide tiene un radio r , entonces este círculo también tiene un radio r y un área π r 2 . El área del rectángulo es 2 r × 2π r = 4π r 2 . Por lo tanto, el área de la cicloide es 3π r 2 : es 3 veces el área del círculo generador.
El conjunto de tangentes puede verse como un círculo porque la cicloide es generada por un círculo y la tangente a la cicloide estará en ángulo recto con la línea que va desde el punto generador hasta el punto rodante. Por lo tanto, la tangente y la línea que va al punto de contacto forman un triángulo rectángulo en el círculo generador. Esto significa que, agrupadas, las tangentes describirán la forma del círculo generador. [3]