En lógica matemática , la lógica algebraica es el razonamiento obtenido mediante la manipulación de ecuaciones con variables libres .
Lo que hoy se suele denominar lógica algebraica clásica se centra en la identificación y descripción algebraica de modelos apropiados para el estudio de diversas lógicas (en forma de clases de álgebras que constituyen la semántica algebraica de estos sistemas deductivos ) y problemas relacionados como la representación y la dualidad. Resultados bien conocidos como el teorema de representación para las álgebras de Boole y la dualidad de Stone caen bajo el paraguas de la lógica algebraica clásica (Czelakowski 2003).
Los trabajos más recientes en la lógica algebraica abstracta (AAL) se centran en el proceso de algebraización en sí, como la clasificación de varias formas de algebraizabilidad utilizando el operador de Leibniz (Czelakowski 2003).
Una relación binaria homogénea se encuentra en el conjunto potencia de X × X para algún conjunto X , mientras que una relación heterogénea se encuentra en el conjunto potencia de X × Y , donde X ≠ Y . Si una relación dada se cumple para dos individuos es un bit de información, por lo que las relaciones se estudian con aritmética booleana. Los elementos del conjunto potencia están parcialmente ordenados por inclusión , y la red de estos conjuntos se convierte en un álgebra a través de la multiplicación relativa o composición de relaciones .
"Las operaciones básicas son la unión, intersección y complementación de conjuntos, la multiplicación relativa y la conversión". [1]
La conversión se refiere a la relación inversa que siempre existe, contrariamente a la teoría de funciones. Una relación dada puede representarse mediante una matriz lógica ; entonces, la relación inversa se representa mediante la matriz transpuesta . Una relación obtenida como composición de otras dos se representa entonces mediante la matriz lógica obtenida por multiplicación de matrices utilizando aritmética booleana.
Un ejemplo de cálculo de relaciones surge en la erotética , la teoría de las preguntas. En el universo de los enunciados hay enunciados S y preguntas Q. Hay dos relaciones π y α de Q a S : q α a se cumple cuando a es una respuesta directa a la pregunta q . La otra relación, q π p se cumple cuando p es una presuposición de la pregunta q . La relación inversa π T va de S a Q de modo que la composición π T α es una relación homogénea en S. [2] El arte de plantear la pregunta correcta para obtener una respuesta suficiente se reconoce en el método socrático del diálogo .
La descripción de las propiedades clave de las relaciones binarias se ha formulado con el cálculo de relaciones. La propiedad de univalencia de funciones describe una relación R que satisface la fórmula donde I es la relación identidad en el rango de R . La propiedad inyectiva corresponde a la univalencia de , o la fórmula donde esta vez I es la identidad en el dominio de R .
Pero una relación univalente es sólo una función parcial , mientras que una relación total univalente es una función . La fórmula para la totalidad es Charles Loewner y Gunther Schmidt utilizan el término mapeo para una relación total univalente. [3] [4]
La facilidad de las relaciones complementarias inspiró a Augustus De Morgan y Ernst Schröder a introducir equivalencias utilizando para el complemento de la relación R . Estas equivalencias proporcionan fórmulas alternativas para relaciones univalentes ( ), y relaciones totales ( ). Por lo tanto, las aplicaciones satisfacen la fórmula Schmidt utiliza este principio como "deslizamiento por debajo de la negación desde la izquierda". [5] Para una aplicación f ,
La estructura del álgebra relacional , basada en la teoría de conjuntos, fue superada por Tarski con axiomas que la describían. Luego se preguntó si cada álgebra que satisficiera los axiomas podría ser representada por una relación de conjuntos. La respuesta negativa [6] abrió la frontera de la lógica algebraica abstracta . [7] [8] [9]
La lógica algebraica trata las estructuras algebraicas , a menudo redes acotadas , como modelos (interpretaciones) de ciertas lógicas , lo que convierte a la lógica en una rama de la teoría del orden .
En lógica algebraica:
En la tabla que aparece a continuación, la columna de la izquierda contiene uno o más sistemas lógicos o matemáticos, y las estructuras algebraicas que son sus modelos se muestran a la derecha en la misma fila. Algunas de estas estructuras son álgebras de Boole o extensiones propias de ellas. Las lógicas modales y otras lógicas no clásicas suelen modelarse mediante lo que se denomina "álgebras de Boole con operadores".
Los formalismos algebraicos que van más allá de la lógica de primer orden al menos en algunos aspectos incluyen:
La lógica algebraica es, quizás, el enfoque más antiguo de la lógica formal, posiblemente comenzando con una serie de memorandos que Leibniz escribió en la década de 1680, algunos de los cuales fueron publicados en el siglo XIX y traducidos al inglés por Clarence Lewis en 1918. [10] : 291–305 Pero casi todo el trabajo conocido de Leibniz sobre lógica algebraica se publicó solo en 1903 después de que Louis Couturat lo descubriera en Nachlass de Leibniz . Parkinson (1966) y Loemker (1969) tradujeron selecciones del volumen de Couturat al inglés.
La lógica matemática moderna comenzó en 1847, con dos panfletos cuyos respectivos autores fueron George Boole [11] y Augustus De Morgan . [12] En 1870 Charles Sanders Peirce publicó el primero de varios trabajos sobre la lógica de relativos . Alexander Macfarlane publicó sus Principles of the Algebra of Logic [13] en 1879, y en 1883, Christine Ladd , una estudiante de Peirce en la Universidad Johns Hopkins , publicó "On the Algebra of Logic". [14] La lógica se volvió más algebraica cuando las relaciones binarias se combinaron con la composición de relaciones . Para los conjuntos A y B , una relación sobre A y B se representa como un miembro del conjunto potencia de A × B con propiedades descritas por el álgebra de Boole . El "cálculo de relaciones" [9] es posiblemente la culminación del enfoque de Leibniz sobre la lógica. En la Hochschule Karlsruhe, Ernst Schröder describió el cálculo de relaciones . [15] En particular, formuló las reglas de Schröder , aunque De Morgan las había anticipado con su Teorema K.
En 1903, Bertrand Russell desarrolló el cálculo de relaciones y el logicismo como su versión de las matemáticas puras basadas en las operaciones del cálculo como nociones primitivas . [16] El "álgebra de lógica de Boole-Schröder" fue desarrollada en la Universidad de California, Berkeley en un libro de texto por Clarence Lewis en 1918. [10] Trató la lógica de las relaciones como derivada de las funciones proposicionales de dos o más variables.
Hugh MacColl , Gottlob Frege , Giuseppe Peano y AN Whitehead compartían el sueño de Leibniz de combinar la lógica simbólica , las matemáticas y la filosofía .
Algunos escritos de Leopold Löwenheim y Thoralf Skolem sobre lógica algebraica aparecieron después de la publicación de Principia Mathematica entre 1910 y 1913 , y Tarski reavivó el interés en las relaciones con su ensayo de 1941 "Sobre el cálculo de relaciones". [9]
Según Helena Rasiowa , "Entre los años 1920 y 1940, en particular en la escuela de lógica polaca, se llevaron a cabo investigaciones sobre cálculos proposicionales no clásicos mediante el llamado método de matrices lógicas . Como las matrices lógicas son ciertas álgebras abstractas, esto condujo al uso de un método algebraico en lógica". [17]
Brady (2000) analiza las ricas conexiones históricas entre la lógica algebraica y la teoría de modelos . Los fundadores de la teoría de modelos, Ernst Schröder y Leopold Loewenheim, fueron lógicos de la tradición algebraica. Alfred Tarski , el fundador de la teoría de modelos de teoría de conjuntos como una rama importante de la lógica matemática contemporánea, también:
En la práctica del cálculo de relaciones, Jacques Riguet utilizó la lógica algebraica para proponer conceptos útiles: extendió el concepto de relación de equivalencia (en un conjunto) al caso heterogéneo con la noción de relación difuncional . Riguet también extendió el ordenamiento al contexto heterogéneo con su observación de que una matriz lógica en escalera tiene un complemento que también es una escalera, y que el teorema de NM Ferrers se deduce de la interpretación de la transpuesta de una escalera. Riguet generó relaciones rectangulares tomando el producto externo de vectores lógicos; estos contribuyen a los rectángulos no ampliables del análisis de conceptos formales .
Leibniz no tuvo influencia en el surgimiento de la lógica algebraica porque sus escritos lógicos fueron poco estudiados antes de las traducciones de Parkinson y Loemker. Nuestra comprensión actual de Leibniz como lógico se deriva principalmente del trabajo de Wolfgang Lenzen, resumido en Lenzen (2004). Para ver cómo el trabajo actual en lógica y metafísica puede inspirarse en el pensamiento de Leibniz y arrojar luz sobre él, véase Zalta (2000).
Perspectiva histórica
