fórmula engset

En teoría de colas , la fórmula de Engset se utiliza para determinar la probabilidad de bloqueo de una cola M/M/c/c/N (en notación de Kendall ).

La fórmula lleva el nombre de su desarrollador, A Engset .

Aplicación de ejemplo

Considere una flota de vehículos y operadores. Los operadores ingresan al sistema de manera aleatoria para solicitar el uso de un vehículo. Si no hay vehículos disponibles, el operador solicitante queda "bloqueado" (es decir, el operador se marcha sin vehículo). Al propietario de la flota le gustaría elegir una flota pequeña para minimizar los costes, pero lo suficientemente grande como para garantizar que la probabilidad de bloqueo sea tolerable. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$

Fórmula

Dejar

• ${\displaystyle c>0}$Sea el número (entero) de servidores.
• ${\displaystyle N>c}$ser el número (entero) de fuentes de tráfico;
• ${\displaystyle \lambda >0}$ser la tasa de llegada de fuente inactiva (es decir, la tasa a la que una fuente libre inicia solicitudes);
• ${\displaystyle h>0}$ser el tiempo de espera promedio (es decir, el tiempo promedio que le toma a un servidor manejar una solicitud);

Entonces, la probabilidad de bloqueo viene dada por ^[1]

${\displaystyle P={\frac {{\binom {N-1}{c}}\left(\lambda h\right)^{c}}{\sum _{i=0}^{c}{\binom {N-1}{i}}\left(\lambda h\right)^{i}}}.}$

Al reorganizar los términos, se puede reescribir la fórmula anterior como ^[2]

${\displaystyle P={\frac {1}{{}_{2}F_{1}(1,-c;N-c;-1/(\lambda h))}}}$

¿Dónde está la función hipergeométrica gaussiana ? ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

Cálculo

Hay varias recursiones ^[3] que se pueden utilizar para calcular de forma numéricamente estable. ${\displaystyle P}$

Alternativamente, se puede utilizar cualquier paquete numérico que admita la función hipergeométrica . A continuación se dan algunos ejemplos.

Python con SciPy

de  scipy.special  import  hyp2f1 P  =  1.0  /  hyp2f1 ( 1 ,  - c ,  N  -  c ,  - 1.0  /  ( Lambda  *  h ))

MATLAB con la caja de herramientas de matemáticas simbólicas

P = 1 / hipergeoma ([ 1 , - c ], N - c , - 1 / ( Lambda * h ))             

Tasa de llegada de fuente desconocida

En la práctica, suele ocurrir que la tasa de llegada a la fuente se desconoce (o es difícil de estimar), mientras que se conoce el tráfico ofrecido por fuente. En este caso se puede sustituir la relación ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle \lambda h={\frac {\alpha }{1-\alpha (1-P)}}}$

entre la tasa de llegada a la fuente y la probabilidad de bloqueo en la fórmula de Engset para llegar a la ecuación de punto fijo

${\displaystyle P=f(P)}$

dónde

${\displaystyle f(P)={\frac {1}{{}_{2}F_{1}(1,-c;N-c;1-P-1/\alpha )}}.}$

Cálculo

Si bien lo anterior elimina la incógnita de la fórmula, introduce un punto adicional de complejidad: ya no podemos calcular la probabilidad de bloqueo directamente y en su lugar debemos usar un método iterativo. Si bien una iteración de punto fijo es tentadora, se ha demostrado que dicha iteración a veces es divergente cuando se aplica a . ^[2] Alternativamente, es posible utilizar uno de los métodos de bisección o de Newton , para el cual hay disponible una implementación de código abierto. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$

Referencias

1. Tijms, Henk C. (2003). Un primer curso de modelos estocásticos . John Wiley e hijos. doi :10.1002/047001363X.
2. Azimzadeh, parsiada; Carpintero, Tommy (2016). "Cálculo rápido de Engset". Cartas de investigación operativa . 44 (3): 313–318. arXiv : 1511.00291 . doi :10.1016/j.orl.2016.02.011. ISSN  0167-6377.
3. Zukerman, Moshe (2000). "Introducción a la teoría de colas y los modelos estocásticos de teletráfico" (pdf) . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .