En matemáticas , la geometría biracional es un campo de la geometría algebraica cuyo objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de subconjuntos de menor dimensión. Esto equivale a estudiar aplicaciones dadas por funciones racionales en lugar de polinomios ; la aplicación puede no estar definida cuando las funciones racionales tienen polos.
Una función racional de una variedad (entendida como irreducible ) a otra variedad , escrita como una flecha discontinua X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío a . Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío es siempre denso en , de hecho el complemento de un subconjunto de menor dimensión. Concretamente, una función racional se puede escribir en coordenadas utilizando funciones racionales.
Una función biracional de X a Y es una función racional f : X ⇢ Y tal que existe una función racional Y ⇢ X inversa a f . Una función biracional induce un isomorfismo de un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y , y viceversa: un isomorfismo entre subconjuntos abiertos no vacíos de X , Y por definición da una función biracional f : X ⇢ Y . En este caso, se dice que X e Y son biracionales , o biracionalmente equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un cuerpo k son biracionales si y solo si sus cuerpos de funciones son isomorfos como campos de extensión de k .
Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , es decir, un morfismo que es biracional. Es decir, f está definido en todas partes, pero su inverso puede no estarlo. Normalmente, esto sucede porque un morfismo biracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y .
Se dice que una variedad X es racional si es biracional respecto del espacio afín (o, equivalentemente, respecto del espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de menor dimensión puede identificarse con el espacio afín menos algún subconjunto de menor dimensión.
Por ejemplo, el círculo con ecuación en el plano afín es una curva racional, porque existe una función racional f : ⇢ X dada por
que tiene una inversa racional g : X ⇢ dada por
La aplicación de la función f con t como un número racional da una construcción sistemática de ternas pitagóricas .
La función racional no está definida en el lugar geométrico donde . Por lo tanto, en la recta afín compleja , hay un morfismo en el subconjunto abierto , . Asimismo, la función racional g : X ⇢ no está definida en el punto (0,−1) en .
En términos más generales, una hipersuperficie cuadrática suave (grado 2) X de cualquier dimensión n es racional, por proyección estereográfica . (Para que X sea una cuadrática sobre un cuerpo k , se debe suponer que X tiene un punto k -racional ; esto es automático si k es algebraicamente cerrado). Para definir la proyección estereográfica, sea p un punto en X. Entonces, se obtiene una función biracional de X al espacio proyectivo de líneas que pasan por p enviando un punto q en X a la línea que pasa por p y q . Esta es una equivalencia biracional pero no un isomorfismo de variedades, porque no se puede definir donde q = p (y la función inversa no se puede definir en aquellas líneas que pasan por p que están contenidas en X ).
La incrustación de Segre da una incrustación dada por
La imagen es la superficie cuadrática en . Esto da otra prueba de que esta superficie cuadrática es racional, ya que es obviamente racional, al tener un subconjunto abierto isomorfo a .
Toda variedad algebraica es birracional respecto de una variedad proyectiva ( lema de Chow ). Por lo tanto, a los efectos de la clasificación biracional, es suficiente trabajar solo con variedades proyectivas, y esta suele ser la configuración más conveniente.
Mucho más profundo es el teorema de Hironaka de 1964 sobre la resolución de singularidades : sobre un cuerpo de característica 0 (como los números complejos), toda variedad es biracional respecto de una variedad proyectiva suave . Dado esto, es suficiente clasificar las variedades proyectivas suaves hasta la equivalencia biracional.
En dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son birracionales, entonces son isomorfas. Pero eso falla en dimensión al menos 2, por la construcción de explosión . Al explotar, cada variedad proyectiva suave de dimensión al menos 2 es biracional a infinitas variedades "más grandes", por ejemplo con números de Betti mayores .
Esto nos lleva a la idea de los modelos mínimos : ¿existe una única variedad más simple en cada clase de equivalencia biracional? La definición moderna es que una variedad proyectiva X es mínima si el fibrado lineal canónico K X tiene grado no negativo en cada curva de X ; en otras palabras, K X es nef . Es fácil comprobar que las variedades ampliadas nunca son mínimas.
Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica de 1890-1910, parte de la clasificación de superficies , es que cada superficie X es biracional ya sea a un producto para alguna curva C o a una superficie mínima Y . [1] Los dos casos son mutuamente excluyentes, e Y es única si existe. Cuando Y existe, se llama modelo mínimo de X .
En un primer momento, no resulta claro cómo demostrar que existen variedades algebraicas que no sean racionales. Para demostrarlo, se necesitan algunos invariantes birracionales de variedades algebraicas. Un invariante biracional es cualquier tipo de número, anillo, etc. que sea el mismo o isomorfo para todas las variedades que sean biracionalmente equivalentes.
Un conjunto útil de invariantes biracionales son los plurigenerates . El fibrado canónico de una variedad suave X de dimensión n significa el fibrado lineal de n -formas K X = Ω n , que es la n ésima potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un entero d , la d ésima potencia tensorial de K X es nuevamente un fibrado lineal. Para d ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , K X d ) tiene la notable propiedad de que una función biracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves induce un isomorfismo H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) . [2]
Para d ≥ 0 , definamos el d ésimo plurigenus P d como la dimensión del espacio vectorial H 0 ( X , K X d ) ; entonces los plurigenus son invariantes biracionales para variedades proyectivas suaves. En particular, si cualquier plurigenus P d con d > 0 no es cero, entonces X no es racional.
Un invariante biracional fundamental es la dimensión de Kodaira , que mide el crecimiento de los plurigenerates P d a medida que d tiende a infinito. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos, con dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, ..., o n . Esta es una medida de la complejidad de una variedad, con un espacio proyectivo que tiene dimensión de Kodaira −∞. Las variedades más complicadas son aquellas con dimensión de Kodaira igual a su dimensión n , llamadas variedades de tipo general .
De manera más general, para cualquier suma natural
de la potencia tensorial r -ésima del fibrado cotangente Ω 1 con r ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , E (Ω 1 )) es un invariante biracional para variedades proyectivas suaves. En particular, los números de Hodge
son invariantes biracionales de X . (La mayoría de los demás números de Hodge h p , q no son invariantes biracionales, como lo demuestra la explosión).
El grupo fundamental π 1 ( X ) es un invariante biracional para variedades proyectivas complejas suaves.
El "teorema de factorización débil", demostrado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk (2002), dice que cualquier función biracional entre dos variedades proyectivas complejas suaves se puede descomponer en un número finito de ampliaciones o ampliaciones de subvariedades suaves. Es importante saber esto, pero puede ser muy difícil determinar si dos variedades proyectivas suaves son biracionales.
Una variedad proyectiva X se llama mínima si el fibrado canónico K X es nef . Para X de dimensión 2, es suficiente considerar variedades suaves en esta definición. En dimensiones al menos 3, se debe permitir que las variedades mínimas tengan ciertas singularidades suaves, para las cuales K X todavía se comporta bien; estas se llaman singularidades terminales .
Dicho esto, la conjetura del modelo mínimo implicaría que cada variedad X está cubierta por curvas racionales o es biracional con respecto a una variedad mínima Y. Cuando existe, Y se denomina modelo mínimo de X.
Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones de al menos 3, pero dos variedades mínimas cualesquiera que sean biracionales son muy cercanas. Por ejemplo, son isomorfas fuera de los subconjuntos de codimensión de al menos 2, y más precisamente están relacionadas por una secuencia de flops . Por lo tanto, la conjetura del modelo mínimo brindaría información sólida sobre la clasificación biracional de las variedades algebraicas.
La conjetura fue demostrada en dimensión 3 por Mori [3] . Se han producido grandes avances en dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010) [4] demostraron que toda variedad de tipo general sobre un cuerpo de característica cero tiene un modelo mínimo.
Una variedad se llama no regulada si está cubierta por curvas racionales. Una variedad no regulada no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que cada variedad no regulada sobre un cuerpo de característica cero es biracional a un espacio de fibra de Fano . [a] Esto conduce al problema de la clasificación biracional de los espacios de fibra de Fano y (como el caso especial más interesante) las variedades de Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es Fano si el fibrado anticanónico es amplio . Las variedades de Fano pueden considerarse las variedades algebraicas que son más similares al espacio proyectivo.
En dimensión 2, cada variedad de Fano (conocida como superficie Del Pezzo ) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que a partir de la dimensión 3, hay muchas variedades de Fano que no son racionales . En particular, las 3-superficies cúbicas suaves no son racionales según Clemens-Griffiths (1972), y las 3-superficies cuárticas suaves no son racionales según Iskovskikh-Manin (1971). No obstante, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de resolverse. Por ejemplo, no se sabe si existe alguna hipersuperficie cúbica suave en con n ≥ 4 que no sea racional.
Las variedades algebraicas difieren ampliamente en la cantidad de automorfismos biracionales que tienen. Cada variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismos biracionales es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismos biracionales del espacio proyectivo sobre un cuerpo k , conocido como el grupo de Cremona Cr n ( k ), es grande (en cierto sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2 . Para n = 2 , el grupo de Cremona complejo se genera por la "transformación cuadrática"
junto con el grupo de automorfismos de Max Noether y Castelnuovo . Por el contrario, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 es un gran misterio: no se conoce ningún conjunto explícito de generadores.
Iskovskikh–Manin (1971) demostró que el grupo de automorfismos birracionales de un triple pliegue cuártico liso es igual a su grupo de automorfismos, que es finito. En este sentido, los triple pliegues cuárticos están lejos de ser racionales, ya que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad racional es enorme. Este fenómeno de "rigidez biracional" se ha descubierto desde entonces en muchos otros espacios de fibras de Fano. [ cita requerida ]
La geometría biracional ha encontrado aplicaciones en otras áreas de la geometría, pero especialmente en problemas tradicionales de geometría algebraica.
Es famoso el uso del programa de modelo mínimo para construir espacios de módulos de variedades de tipo general por János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. [5]
Recientemente, la geometría biracional ha encontrado importantes aplicaciones en el estudio de la K-estabilidad de las variedades de Fano a través de resultados de existencia general para métricas de Kähler-Einstein , en el desarrollo de invariantes explícitos de las variedades de Fano para probar la K-estabilidad mediante el cálculo de modelos biracionales y en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano. [6] Se han utilizado resultados importantes en geometría biracional, como la prueba de Birkar de acotación de las variedades de Fano, para demostrar resultados de existencia para espacios de módulos.
![{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375395e20d9ffe5658e7a8c4156823c3a4e04ce8)
