billar aritmético

Algoritmo geométrico GCD y LCM

El billar aritmético de los números 15 y 40: el máximo común divisor es 5, el mínimo común múltiplo es 120.

En matemáticas recreativas, el billar aritmético proporciona un método geométrico para determinar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números naturales haciendo uso de reflexiones dentro de un rectángulo cuyos lados son los dos números dados. Este es un ejemplo sencillo de análisis de trayectoria de billar dinámico .

Los billares aritméticos han sido discutidos como acertijos matemáticos por Hugo Steinhaus ^[1] y Martin Gardner , ^[2] y los profesores de matemáticas los conocen con el nombre de 'Paper Pool'. ^[3] Se han utilizado como fuente de preguntas en los círculos matemáticos. ^[4]

El camino del billar aritmético

El billar aritmético para los números 10 y 40.

Considere un rectángulo con lados enteros y construya un camino dentro de este rectángulo de la siguiente manera:

• comience en una esquina y avance a lo largo de la línea recta que forma un ángulo de 45° con los lados;
• cada vez que el camino llegue a un lado, reflejelo con el mismo ángulo (el camino gira 90° a la izquierda o a la derecha);
• eventualmente (es decir, después de un número finito de reflexiones) el camino llega a una esquina y allí se detiene.

Si la longitud de un lado divide al otro, el camino es un zigzag que consta de uno o más segmentos. De lo contrario, el camino tiene autointersecciones y consta de segmentos de varias longitudes en dos direcciones ortogonales. En general, el camino es la intersección del rectángulo con una cuadrícula de cuadrados (orientados a 45° con respecto a los lados del rectángulo).

Características aritméticas del camino.

El billar aritmético para los números 3 y 8: el máximo común divisor es 1, el mínimo común múltiplo es 24.

Llama y las longitudes de los lados del rectángulo y divídelo en cuadrados unitarios. El mínimo común múltiplo es el número de cuadrados unitarios atravesados ​​por el camino aritmético del billar o, equivalentemente, la longitud del camino dividida por . En particular, el camino pasa por cada cuadrado unitario si y sólo si y son coprimos . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Supongamos que ninguna de las longitudes de los dos lados divide al otro. Entonces, el primer segmento de la trayectoria aritmética del billar contiene el punto de autointersección más cercano al punto inicial. El máximo común divisor es el número de cuadrados unitarios atravesados ​​por el primer segmento del camino hasta ese punto de autointersección. ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

El número de puntos de rebote para la trayectoria aritmética del billar en los dos lados de la longitud es igual , y de manera similar para los dos lados de la longitud . En particular, si y son coprimos, entonces el número total de puntos de contacto entre el camino y el perímetro del rectángulo (es decir, los puntos de rebote más las esquinas inicial y final) es igual a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a/\operatorname {gcd} (a,b))-1}$ ${\displaystyle (b/\operatorname {gcd} (a,b))-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$

La esquina final del camino es opuesta a la esquina inicial si y sólo si y son exactamente divisibles por la misma potencia de dos (por ejemplo, si ambas son impares), en caso contrario es una de las dos esquinas adyacentes, según si o tiene más factores en su factorización prima . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2}$

El camino es simétrico : si las esquinas inicial y final son opuestas, entonces el camino es simétrico con respecto al centro del rectángulo; de lo contrario, es simétrico con respecto a la bisectriz del lado que conecta la esquina inicial y final.

Los puntos de contacto entre la trayectoria aritmética del billar y el perímetro del rectángulo están distribuidos uniformemente: la distancia a lo largo del perímetro (es decir, posiblemente doblando la esquina) entre dos puntos vecinos es igual a . ${\displaystyle 2\gcd(a,b)}$

Establezca las coordenadas en el rectángulo de modo que el punto inicial sea y la esquina opuesta sea . Entonces, cualquier punto de la trayectoria aritmética del billar que tenga coordenadas enteras tiene la propiedad de que la suma de las coordenadas es par (la paridad no puede cambiar al moverse a lo largo de diagonales de cuadrados unitarios). Los puntos de autointersección del camino, los puntos de rebote y las esquinas inicial y final son exactamente los puntos del rectángulo cuyas coordenadas son múltiplos de y tales que la suma de las coordenadas es un múltiplo par de . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

Ideas de prueba

Al reflejar el billar, podemos visualizar el camino como una línea recta. En este ejemplo, la proporción de los dos números dados es 2/3.

Reflejando el billar: Considere un cuadrado de lado . Al mostrar múltiples copias del rectángulo original (con simetría especular), podemos visualizar la ruta aritmética del billar como una diagonal de ese cuadrado. En otras palabras, podemos pensar en reflejar el rectángulo en lugar de los segmentos del camino. ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$

Reducir al caso coprimo: Es conveniente reescalar el rectángulo dividiendo y por su máximo común divisor, operación que no altera la geometría del camino (por ejemplo, el número de puntos de rebote). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Invertir el tiempo: El movimiento del camino es “reversible en el tiempo”, lo que significa que si el camino actualmente atraviesa una unidad de cuadrado particular (en una dirección particular), entonces no hay absolutamente ninguna duda desde qué unidad de cuadrado y desde qué dirección acaba de llegar. vino. ^[4]

La prueba se puede encontrar en un artículo de divulgación. ^[5]

Una generalización

Una trayectoria periódica en el billar aritmético generalizado con lados 35 y 14.

Si permitimos que el punto inicial del camino sea cualquier punto del rectángulo con coordenadas enteras, entonces también hay caminos periódicos a menos que los lados del rectángulo sean coprimos. La longitud de cualquier camino periódico es igual a . ${\displaystyle 2\operatorname {lcm} (a,b)\cdot {\sqrt {2}}}$

Referencias

1. Steinhaus, Hugo (1999). Instantáneas matemáticas (Serie de matemáticas recreativas de Dover ed.). Corporación de mensajería. pag. 63.ISBN​ 0486409147.
2. Gardner, Martín (1984). Sexto libro de desvíos matemáticos del "Scientific American" . Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 211-215. ISBN 0226282503.
3. "Juego de billar de papel". Iluminaciones NCTM . Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas . Consultado el 10 de enero de 2018 .
4. Tanton, James (2012). ¡Matemáticas en abundancia! Los primeros cinco años del Instituto de Matemáticas de San Marcos . La Asociación Matemática de América. págs. 145-156. ISBN 978-0883857762.
5. Perucca, Antonella (24 de abril de 2018). "Billar aritmético". Revista Más . Universidad de Cambridge . Consultado el 23 de diciembre de 2018 .