En la teoría de sistemas dinámicos , una bifurcación que duplica el período ocurre cuando un ligero cambio en los parámetros de un sistema hace que surja una nueva trayectoria periódica a partir de una trayectoria periódica existente, la nueva tiene el doble del período de la original. Con el período duplicado, se necesita el doble de tiempo (o, en un sistema dinámico discreto , el doble de iteraciones) para que los valores numéricos visitados por el sistema se repitan.
Una bifurcación que reduce el período a la mitad ocurre cuando un sistema cambia a un nuevo comportamiento con la mitad del período del sistema original.
Una cascada de duplicación de períodos es una secuencia infinita de bifurcaciones de duplicación de períodos. Estas cascadas son una ruta común por la cual los sistemas dinámicos desarrollan el caos. [1] En hidrodinámica , son una de las posibles rutas hacia la turbulencia . [2]
donde es una función del tiempo (discreto) . [3] Se supone que el parámetro se encuentra en el intervalo , en cuyo caso está acotado por .
Para entre 1 y 3, converge al punto fijo estable . Entonces, entre 3 y 3,44949, converge a una oscilación permanente entre dos valores y que dependen de . A medida que crece, aparecen oscilaciones entre 4 valores, luego 8, 16, 32, etc. Estas duplicaciones de períodos culminan en , más allá del cual aparecen regímenes más complejos. A medida que aumenta, hay algunos intervalos en los que la mayoría de los valores iniciales convergerán en una o una pequeña cantidad de oscilaciones estables, como cerca de .
En el intervalo donde el período es para algún número entero positivo , no todos los puntos realmente tienen período . Estos son puntos únicos, más que intervalos. Se dice que estos puntos están en órbitas inestables, ya que los puntos cercanos no se aproximan a la misma órbita que ellos.
La ecuación de Kuramoto-Sivashinsky es un ejemplo de un sistema dinámico espaciotemporalmente continuo que exhibe duplicación de períodos. Es una de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales mejor estudiadas , introducida originalmente como un modelo de propagación del frente de llama. [4]
La ecuación unidimensional de Kuramoto-Sivashinsky es
Una elección común para las condiciones de contorno es la periodicidad espacial: .
Para valores grandes de , evoluciona hacia soluciones estables (independientes del tiempo) u órbitas periódicas simples. A medida que disminuye, la dinámica eventualmente desarrolla caos. La transición del orden al caos se produce a través de una cascada de bifurcaciones que duplican el período, [5] [6] una de las cuales se ilustra en la figura.
Mapa logístico para una curva de Phillips modificada
Considere el siguiente mapa logístico para una curva de Phillips modificada :
Manteniendo y variando , el sistema sufre bifurcaciones que duplican el período y finalmente se vuelve caótico. [ cita necesaria ]
Observación experimental
Se ha observado la duplicación del período en varios sistemas experimentales. [7] También hay evidencia experimental de cascadas de duplicación de períodos. Por ejemplo, se han observado secuencias de duplicaciones de 4 períodos en la dinámica de los rollos de convección en agua y mercurio . [8] [9] De manera similar, se han observado 4-5 duplicaciones en ciertos circuitos electrónicos no lineales . [10] [11] [12] Sin embargo, la precisión experimental requerida para detectar el i -ésimo evento de duplicación en una cascada aumenta exponencialmente con i , lo que dificulta observar más de 5 eventos de duplicación en una cascada. [13]
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^ ver Strogatz (2015) para una revisión
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Referencias
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enlaces externos
Conectando cascadas de duplicación de períodos con el caos