Biarco

Figura 1

Un biarco es una curva suave formada a partir de dos arcos circulares . ^[1] Para que el biarco sea suave ( G ¹ continuo ), los dos arcos deben tener la misma tangente en el punto de conexión donde se encuentran.

Los biarcos se utilizan comúnmente en modelado geométrico y gráficos por computadora . Se pueden utilizar para aproximar splines y otras curvas planas colocando los dos puntos finales externos del biarco a lo largo de la curva que se va a aproximar, con una tangente que coincida con la curva y luego eligiendo un punto medio que se ajuste mejor a la curva. Esta elección de tres puntos y dos tangentes determina un par único de arcos circulares, y el lugar geométrico de los puntos medios para los que estos dos arcos forman un biarco es en sí mismo un arco circular. En particular, para aproximar una curva de Bézier de esta manera, el punto medio del biarco debe elegirse como el incentro del triángulo formado por los dos puntos finales de la curva de Bézier y el punto donde se encuentran sus dos tangentes. De manera más general, se puede aproximar una curva mediante una secuencia suave de biarcos; el uso de más biarcos en la secuencia mejorará en general la cercanía de la aproximación a la curva original.

Ejemplos de curvas biarco

1. En los ejemplos siguientes, los biarcos están subtendidos por la cuerda y es el punto de unión. El vector tangente en el punto inicial es y es la tangente en el punto final. ${\displaystyle A(J)B}$ ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\beta )}$ ${\displaystyle B:}$
2. La figura 2 muestra seis ejemplos de biarcos. ${\displaystyle AJB.}$
   • Biarc 1 está empatado con Biarcs 2-6. ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.}$ ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.}$
   • En los ejemplos 1, 2 y 6 la curvatura cambia de signo y el punto de unión es también el punto de inflexión. El biarco 3 incluye el segmento de línea recta . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle JB}$
   • Los biarcos 1 a 4 son cortos en el sentido de que no giran cerca de los puntos finales. Por el contrario, los biarcos 5 y 6 son largos : girar cerca de uno de los puntos finales significa que intersecan el complemento izquierdo o derecho de la cuerda con la línea recta infinita.
   • Los biarcos 2 a 6 comparten tangentes finales. Se los puede encontrar en el fragmento inferior de la Fig. 3, entre la familia de biarcos con tangentes comunes.
3. La figura 3 muestra dos ejemplos de familias biarco, que comparten puntos finales y tangentes finales.
4. La figura 4 muestra dos ejemplos de familias biarco que comparten puntos finales y tangentes finales, siendo las tangentes finales paralelas: ${\displaystyle \alpha =\beta .}$
5. La figura 5 muestra familias específicas con uno o más de estos trastornos. ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi .}$

Fig. 5. Familias de Biarcs con o sin ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi }$

Los diferentes colores de las figuras 3, 4 y 5 se explican a continuación como subfamilias , , . En particular, para los biarcos, que se muestran en marrón sobre fondo sombreado ( similares a lentes o similares a lunas ), se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

• la rotación total (ángulo de giro) de la curva es exactamente (no , que es la rotación para otros biarcos); ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\displaystyle \beta -\alpha \pm 2\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})}$:la suma es el ancho angular de la lente/luna, que cubre el biarco, cuyo signo corresponde a una curvatura creciente (+1) o decreciente (−1) del biarco, según el teorema de Vogt generalizado (Teorema de fotografía#Teorema de fotografía  ^[ru] ). ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Familia de biarcos con tangentes finales comunes

Una familia de biarcos con puntos finales comunes , , y tangentes finales comunes (1) se denota como o, brevemente, como  siendo el parámetro de la familia. Las propiedades de los biarcos se describen a continuación en términos del artículo. ^[2] ${\displaystyle A=(-c,0)}$ ${\displaystyle B=(c,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p),}$ ${\displaystyle p}$

1. La construcción de un biarco es posible si
2. Denotar
   • ${\displaystyle k_{1}}$, y   la curvatura, el ángulo de giro y la longitud del arco :    ; ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle AJ}$ ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$
   • ${\displaystyle k_{2}}$, y   lo mismo para el arco :    . ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle JB}$ ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$
   Entonces (debido a (2) , ). Ángulos de giro: $${\displaystyle k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{where}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$$ ${\displaystyle \sin \omega \not =0}$ $${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}$$
3. El lugar geométrico de los puntos de unión es el círculo (mostrado en línea discontinua en la Fig. 3, Fig. 5). Este círculo (línea recta si , Fig. 4) pasa por los puntos cuya tangente en , siendo  Biarcos, intersecta este círculo bajo el ángulo constante   ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\gamma ).}$ ${\displaystyle -\omega .}$
4. El vector tangente al biarco en el punto de unión es , donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)}$ $${\displaystyle \tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$$
5. Los biarcos tienen el punto de unión en el eje Y y producen el salto de curvatura mínimo , en  ${\displaystyle p=\pm 1}$ ${\displaystyle (X_{J}=0),}$ ${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$ ${\displaystyle J.}$
6. Los biarcos degenerados son:
   • Biarc : a medida que , , el arco se desvanece. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle p\to 0}$ ${\displaystyle J(p)\to A}$ ${\displaystyle AJ}$
   • Biarc : a medida que , , el arco se desvanece. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ ${\displaystyle p\to \pm \infty }$ ${\displaystyle J(p)\to B}$ ${\displaystyle JB}$
   • El biarco discontinuo incluye la recta o y pasa por el punto infinito  : ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ ${\displaystyle AP_{\infty }J}$ ${\displaystyle JP_{\infty }B,}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ $${\displaystyle p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}}$$
   La región oscurecida con forma de lente en las figuras 3 y 4 está delimitada por biarcos. Cubre biarcos con. El biarco discontinuo se muestra mediante una línea discontinua roja. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).}$ ${\displaystyle p>0.}$
7. Toda la familia se puede subdividir en tres subfamilias de biarcos no degenerados: La subfamilia desaparece si La subfamilia desaparece si En las figuras 3, 4 y 5 los biarcos se muestran en marrón, los biarcos en azul y los biarcos en verde. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=0}$   ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$ ${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$ ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

Referencias

1. Bolton, KM (1975). "Curvas de biarco". Diseño asistido por ordenador . 7 (2): 89–92. doi :10.1016/0010-4485(75)90086-X.
2. Kurnosenko, AI (2013). "Biarcos y bilens" (PDF) . Diseño geométrico asistido por computadora . 30 (3): 310–330. doi :10.1016/j.cagd.2012.12.002.

• Nutbourne, AW; Martin, RR (1988). Geometría diferencial aplicada al diseño de curvas y superficies. Vol. 1: Fundamentos . Ellis Horwood. ISBN 978-0132118224.

Enlaces externos

• Interpolación de Biarc