Doble base

Concepto de álgebra lineal

En álgebra lineal , dado un espacio vectorial con una base de vectores indexados por un conjunto de índices (la cardinalidad de es la dimensión de ), el conjunto dual de es un conjunto de vectores en el espacio dual con el mismo conjunto de índices tales que y forman un sistema biortogonal . El conjunto dual es siempre linealmente independiente pero no necesariamente abarca . Si abarca , entonces se denomina base dual o base recíproca para la base . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B}$

Denotando los conjuntos de vectores indexados como y , siendo biortogonales significa que los elementos se aparean para tener un producto interno igual a 1 si los índices son iguales, e igual a 0 en caso contrario. Simbólicamente, evaluar un vector dual en sobre un vector en el espacio original : ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}$

¿Dónde está el símbolo delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Introducción

Para realizar operaciones con un vector, debemos tener un método sencillo para calcular sus componentes. En un marco cartesiano, la operación necesaria es el producto escalar del vector y el vector base. ^[1] Por ejemplo,

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}}$

donde es la base en un marco cartesiano. Los componentes de se pueden encontrar mediante ${\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}$

Sin embargo, en un marco no cartesiano, no necesariamente tenemos para todos . Sin embargo, siempre es posible encontrar vectores en el espacio dual tales que ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$

${\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}$

La igualdad se cumple cuando s es la base dual de s. Nótese la diferencia en la posición del índice . ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Existencia y singularidad

El conjunto dual siempre existe y da una inyección de V en V ^∗ , es decir, la aplicación que envía v _i a v ⁱ . Esto dice, en particular, que el espacio dual tiene dimensión mayor o igual a la de V .

Sin embargo, el conjunto dual de un V de dimensión infinita no abarca su espacio dual V ^∗ . Por ejemplo, considere la función w en V ^∗ de V en los escalares subyacentes F dados por w ( v _i ) = 1 para todo i . Esta función es claramente distinta de cero en todo v _i . Si w fuera una combinación lineal finita de los vectores base duales v ⁱ , digamos para un subconjunto finito K de I , entonces para cualquier j que no esté en K , , contradiciendo la definición de w . Por lo tanto, esta w no se encuentra en el espacio del conjunto dual. ${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$ ${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$

El dual de un espacio de dimensión infinita tiene mayor dimensión (siendo esta una cardinalidad infinita mayor) que la del espacio original, y por lo tanto no pueden tener una base con el mismo conjunto de indexación. Sin embargo, existe un conjunto dual de vectores, que define un subespacio del dual isomorfo al espacio original. Además, para los espacios vectoriales topológicos , se puede definir un espacio dual continuo , en cuyo caso puede existir una base dual.

Espacios vectoriales de dimensión finita

En el caso de espacios vectoriales de dimensión finita, el conjunto dual es siempre una base dual y es única. Estas bases se denotan por y . Si se denota la evaluación de un covector en un vector como un emparejamiento, la condición de biortogonalidad se convierte en: ${\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.}$

La asociación de una base dual con una base da una función del espacio de bases de V al espacio de bases de V ^∗ , y esto también es un isomorfismo. Para cuerpos topológicos como los números reales, el espacio de duales es un espacio topológico , y esto da un homeomorfismo entre las variedades de Stiefel de bases de estos espacios.

Una construcción categórica y algebraica del espacio dual

Otra forma de introducir el espacio dual de un espacio vectorial ( módulo ) es introducirlo en un sentido categórico. Para ello, sea un módulo definido sobre el anillo (es decir, es un objeto en la categoría ). Luego definimos el espacio dual de , denotado , como , el módulo formado por todos los homomorfismos de módulo -lineales de en . Nótese entonces que podemos definir un dual al dual, al que se hace referencia como el doble dual de , escrito como , y definido como . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\ast \ast }}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}$

Para construir formalmente una base para el espacio dual, ahora restringiremos nuestra visión al caso donde es un módulo libre (izquierda) de dimensión finita, donde es un anillo con unidad. Luego, suponemos que el conjunto es una base para . A partir de aquí, definimos la función Delta de Kronecker sobre la base por si y si . Entonces el conjunto describe un conjunto linealmente independiente con cada . Como es de dimensión finita, la base es de cardinalidad finita. Entonces, el conjunto es una base para y es un módulo libre (derecha) . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \delta _{xy}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{xy}=1}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \delta _{xy}=0}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }$ ${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F^{\ast }}$ ${\displaystyle F^{\ast }}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Por ejemplo, los vectores base estándar de (el plano cartesiano ) son ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

y los vectores base estándar de su espacio dual son ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

En el espacio euclidiano tridimensional , para una base dada , la base biortogonal (dual) se puede encontrar mediante las siguientes fórmulas: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

donde ^T denota la transpuesta y

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores base y ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}$

En general, la base dual de una base en un espacio vectorial de dimensión finita se puede calcular fácilmente de la siguiente manera: dada la base y la base dual correspondiente, podemos construir matrices ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Entonces la propiedad definitoria de la base dual establece que

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

Por lo tanto, la matriz para la base dual se puede calcular como ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

Véase también

• Red recíproca
• Índice de Miller
• Eje de zona

Notas

1. Lebedev, Cloud y Eremeyev 2010, pág. 12.

Referencias

• Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Análisis tensorial con aplicaciones a la mecánica . World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
• "Encontrar la base dual". Stack Exchange . 27 de mayo de 2012.