Función de Schwinger

Distribuciones euclidianas de Wightman

En la teoría cuántica de campos , las distribuciones de Wightman se pueden continuar analíticamente hasta obtener funciones analíticas en el espacio euclidiano con el dominio restringido al conjunto ordenado de puntos en el espacio euclidiano sin puntos coincidentes. ^[1] Estas funciones se denominan funciones de Schwinger (nombradas en honor a Julian Schwinger ) y son real-analíticas, simétricas bajo la permutación de argumentos (antisimétricas para campos fermiónicos ), covariantes euclidianas y satisfacen una propiedad conocida como positividad de reflexión . Las propiedades de las funciones de Schwinger se conocen como axiomas de Osterwalder-Schrader (nombrados en honor a Konrad Osterwalder y Robert Schrader ). ^[2] Las funciones de Schwinger también se conocen como funciones de correlación euclidiana .

Axiomas de Osterwalder-Schrader

Aquí describimos los axiomas de Osterwalder–Schrader (OS) para una teoría cuántica de campos euclidiana de un campo escalar hermítico , . Nótese que una teoría cuántica de campos típica contendrá una cantidad infinita de operadores locales, incluidos también operadores compuestos, y sus correladores también deberían satisfacer axiomas de OS similares a los que se describen a continuación. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Las funciones de Schwinger se denotan como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\rangle ,\quad x_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Los axiomas del SO de ^[2] están numerados (E0)-(E4) y tienen el siguiente significado:

• (E0) Temperamento
• (E1) Covarianza euclidiana
• (E2) Positividad
• (E3) Simetría
• (E4) Propiedad del clúster

Temperamento

El axioma de temperancia (E0) dice que las funciones de Schwinger son distribuciones templadas lejos de los puntos coincidentes. Esto significa que pueden integrarse con funciones de prueba de Schwartz que se anulan con todas sus derivadas en configuraciones donde dos o más puntos coinciden. Se puede demostrar a partir de este axioma y otros axiomas de SO (pero no de la condición de crecimiento lineal) que las funciones de Schwinger son, de hecho, real-analíticas lejos de los puntos coincidentes.

Covarianza euclidiana

El axioma de covarianza euclidiana (E1) dice que las funciones de Schwinger se transforman covariantemente bajo rotaciones y traslaciones, a saber:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)}$

para una matriz de rotación arbitraria y un vector de traslación arbitrario . Los axiomas del SO se pueden formular para funciones de Schwinger de campos que se transforman en representaciones arbitrarias del grupo de rotación. ^{[2] [3]} ${\displaystyle R\in SO(d)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}$

Simetría

El axioma de simetría (E3) dice que las funciones de Schwinger son invariantes bajo permutaciones de puntos:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$,

donde es una permutación arbitraria de . Las funciones de Schwinger de los campos fermiónicos son, en cambio, antisimétricas; para ellas, esta ecuación tendría un signo ± igual a la firma de la permutación. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Propiedad del cluster

La propiedad de agrupamiento (E4) dice que la función de Schwinger se reduce al producto si dos grupos de puntos están separados entre sí por una gran traslación constante: ${\displaystyle S_{p+q}}$ ${\displaystyle S_{p}S_{q}}$

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})}$.

El límite se entiende en el sentido de distribuciones. También existe el supuesto técnico de que los dos grupos de puntos se encuentran en dos lados del hiperplano, mientras que el vector es paralelo a él: ${\displaystyle x^{0}=0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}<0,\quad b^{0}=0.}$

Reflexión positividad

Los axiomas de positividad (E2) afirman la siguiente propiedad llamada positividad de reflexión (Osterwalder–Schrader). Elija cualquier coordenada arbitraria τ y elija una función de prueba f _N con N puntos como argumentos. Suponga que f _N tiene su soporte en el subconjunto "ordenado en el tiempo" de N puntos con 0 < τ ₁ < ... < τ _N . Elija una de esas f _N para cada N positiva , con las f siendo cero para todos los N mayores que algún entero M . Dado un punto , sea el punto reflejado sobre el hiperplano τ = 0 . Entonces, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\theta }}$

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

donde * representa la conjugación compleja .

A veces, en la literatura de física teórica, la positividad reflexiva se enuncia como el requisito de que la función de Schwinger de orden par arbitrario debe ser no negativa si los puntos se insertan simétricamente con respecto al hiperplano: ${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0}$.

Esta propiedad se desprende de la positividad de reflexión, pero es más débil que la positividad de reflexión completa.

Comprensión intuitiva

Una forma de construir (formalmente) funciones de Schwinger que satisfacen las propiedades anteriores es a través de la integral de trayectoria euclidiana . En particular, las integrales de trayectoria euclidianas satisfacen (formalmente) la positividad de reflexión. Sea F cualquier polinomio funcional del cuerpo φ que solo depende del valor de φ ( x ) para aquellos puntos x cuyas coordenadas τ son no negativas. Entonces

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi (x^{\theta })]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[(\phi _{-})^{\theta }]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

Dado que la acción S es real y se puede dividir en , que solo depende de φ en el semiespacio positivo ( ), y que solo depende de φ en el semiespacio negativo ( ), y si S también resulta ser invariante bajo la acción combinada de tomar una reflexión y conjugar complejamente todos los campos, entonces la cantidad anterior tiene que ser no negativa. ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle \phi _{+}}$ ${\displaystyle S_{-}}$ ${\displaystyle \phi _{-}}$

Teorema de Osterwalder-Schrader

El teorema de Osterwalder-Schrader ^[4] establece que las funciones de Schwinger euclidianas que satisfacen los axiomas anteriores (E0)-(E4) y una propiedad adicional (E0') llamada condición de crecimiento lineal pueden continuar analíticamente hasta distribuciones de Wightman de Lorentz que satisfacen los axiomas de Wightman y, por lo tanto, definen una teoría cuántica de campos .

Condición de crecimiento lineal

Esta condición, llamada (E0') en ^[4] , afirma que cuando la función de orden de Schwinger se empareja con una función de prueba de Schwartz arbitraria que se desvanece en puntos coincidentes, tenemos el siguiente límite: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle |S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},}$

donde es una constante entera, es la seminorma del espacio de Schwartz de orden , es decir ${\displaystyle C\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |f|_{C\cdot n}}$ ${\displaystyle N=C\cdot n}$

${\displaystyle |f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,}$

y una secuencia de constantes de crecimiento factorial , es decir con algunas constantes . ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}\leq A(n!)^{B}}$ ${\displaystyle A,B}$

La condición de crecimiento lineal es sutil, ya que debe cumplirse para todas las funciones de Schwinger simultáneamente. Tampoco se ha derivado de los axiomas de Wightman , de modo que el sistema de axiomas de SO (E0)-(E4) más la condición de crecimiento lineal (E0') parece ser más fuerte que los axiomas de Wightman .

Historia

En un primer momento, Osterwalder y Schrader propusieron un teorema más fuerte según el cual los axiomas (E0)-(E4) por sí mismos implican los axiomas de Wightman ^[2] , sin embargo su prueba contenía un error que no podía corregirse sin añadir suposiciones adicionales. Dos años después publicaron un nuevo teorema, con la condición de crecimiento lineal añadida como suposición, y una prueba correcta ^[4] . La nueva prueba se basa en un argumento inductivo complicado (propuesto también por Vladimir Glaser ^[5] ), por el cual la región de analiticidad de las funciones de Schwinger se extiende gradualmente hacia el espacio de Minkowski, y las distribuciones de Wightman se recuperan como un límite. La condición de crecimiento lineal (E0') se utiliza de forma crucial para demostrar que el límite existe y es una distribución templada.

El artículo de Osterwalder y Schrader también contiene otro teorema que reemplaza (E0') por otro supuesto llamado . ^[4] Este otro teorema rara vez se utiliza, ya que es difícil de comprobar en la práctica. ^[3] ${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$ ${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$

Otros axiomas de funciones de Schwinger

Axiomas de Glimm y Jaffe

Glimm y Jaffe describen en su libro ^[6] un enfoque alternativo a la axiomatización de los correladores euclidianos. En este enfoque se supone que se da una medida en el espacio de distribuciones . Luego se considera una función generadora ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})}$

que se supone que satisface las propiedades OS0-OS4:

• (OS0) Analiticidad. Esta afirma que

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)}$

es una función analítica completa de para cualquier conjunto de funciones de prueba con soporte compacto . Intuitivamente, esto significa que la medida decae más rápido que cualquier exponencial. ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle d\mu }$

• (OS1) Regularidad . Esto exige un límite de crecimiento para en términos de , como . Véase ^[6] para la condición precisa. ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)}$
• (OS2) Invariancia euclidiana. Esto dice que el funcional es invariante ante transformaciones euclidianas . ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$
• (OS3) Positividad de reflexión. Tómese una secuencia finita de funciones de prueba que estén todas soportadas en el semiespacio superior, es decir, en . Denote por donde es una operación de reflexión definida anteriormente. Este axioma dice que la matriz tiene que ser semidefinida positiva. ${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle x^{0}>0}$ ${\displaystyle \theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})}$
• (OS4) Ergodicidad. El semigrupo de traslación temporal actúa ergódicamente sobre el espacio de medida . Véase ^[6] para conocer la condición precisa. ${\displaystyle (D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )}$

Relación con los axiomas de Osterwalder-Schrader

Aunque los axiomas anteriores fueron nombrados por Glimm y Jaffe (OS0)-(OS4) en honor a Osterwalder y Schrader, no son equivalentes a los axiomas de Osterwalder-Schrader.

Dados (OS0)-(OS4), se pueden definir funciones de Schwinger de como momentos de la medida , y demostrar que estos momentos satisfacen los axiomas de Osterwalder–Schrader (E0)-(E4) y también las condiciones de crecimiento lineal (E0'). Luego se puede apelar al teorema de Osterwalder–Schrader para demostrar que las funciones de Wightman son distribuciones templadas. Alternativamente, y mucho más fácil, se pueden derivar los axiomas de Wightman directamente de (OS0)-(OS4). ^[6] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d\mu }$

Sin embargo, cabe señalar que la teoría cuántica de campos completa contendrá una cantidad infinita de otros operadores locales además de , como , y otros operadores compuestos construidos a partir de y sus derivados. No es fácil extraer estas funciones de Schwinger de la medida y demostrar que satisfacen los axiomas del SO, como debería ser el caso. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d\mu }$

En resumen, los axiomas llamados (OS0)-(OS4) por Glimm y Jaffe son más fuertes que los axiomas del SO en lo que respecta a los correladores del campo , pero más débiles que el conjunto completo de axiomas del SO ya que no dicen mucho sobre los correladores de operadores compuestos. ${\displaystyle \phi }$

Los axiomas de Nelson

Estos axiomas fueron propuestos por Edward Nelson . ^[7] Véase también su descripción en el libro de Barry Simon. ^[8] Al igual que en los axiomas anteriores de Glimm y Jaffe, se supone que el campo es una distribución aleatoria con una medida . Esta medida es suficientemente regular para que el campo tenga la regularidad de un espacio de Sobolev de orden de derivada negativa. La característica crucial de estos axiomas es considerar el campo restringido a una superficie. Uno de los axiomas es la propiedad de Markov , que formaliza la noción intuitiva de que el estado del campo dentro de una superficie cerrada depende solo del estado del campo en la superficie. ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \phi }$

Véase también

• Rotación de la mecha
• Teoría cuántica de campos axiomática
• Axiomas de Wightman

Referencias

1. Streater, RF; Wightman, AS (2000). PCT, spin and statistics, and all that (PCT, giro y estadísticas, y todo eso) . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07062-9.OCLC 953694720  .
2. Osterwalder, K. y Schrader, R.: "Axiomas para las funciones de Green euclidianas", Comm. Math. Phys. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.
3. Kravchuk, Petr; Qiao, Jiaxin; Rychkov, Slava (5 de abril de 2021). "Distribuciones en CFT II. Espacio Minkowski". arXiv : 2104.02090v1 .
4. Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1975). "Axiomas para funciones euclidianas de Green II". Comunicaciones en Física Matemática . 42 (3). Springer Science and Business Media LLC: 281–305. doi :10.1007/bf01608978. ISSN  0010-3616. S2CID  119389461.
5. Glaser, V. (1974). "Sobre la equivalencia de la formulación euclidiana y de Wightman de la teoría de campos". Communications in Mathematical Physics . 37 (4). Springer Science and Business Media LLC: 257–272. doi :10.1007/bf01645941. ISSN  0010-3616. S2CID  121257568.
6. Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Física cuántica: un punto de vista funcional e integral . Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9.OCLC 852790676  .
7. Nelson, Edward (1973-01-01). "Construcción de campos cuánticos a partir de campos de Markoff". Journal of Functional Analysis . 12 (1): 97–112. doi : 10.1016/0022-1236(73)90091-8 . ISSN  0022-1236.
8. Simon, Barry (1974). La teoría de campos euclidiano (cuántico) P(phi)_2 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08144-1.OCLC 905864308  .