Axiomas de probabilidad

Fundamentos de la teoría de la probabilidad

Los axiomas de probabilidad estándar son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por el matemático ruso Andrey Kolmogorov en 1933. ^[1] Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. ^[2]

Existen otros enfoques (equivalentes) para formalizar la probabilidad. Los bayesianos suelen motivar los axiomas de Kolmogorov invocando el teorema de Cox o los argumentos del libro holandés . ^{[3] [4]}

Axiomas de Kolmogorov

Las suposiciones para la formulación de los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea un espacio de medida con probabilidad de algún evento , y . Entonces es un espacio de probabilidad , con espacio muestral , espacio de eventos y medida de probabilidad . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Primer axioma

La probabilidad de un evento es un número real no negativo:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

donde es el espacio de eventos. De ello se deduce (cuando se combina con el segundo axioma) que siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general . Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P(E)}$

Segundo axioma

Éste es el supuesto de la unidad de medida : que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1.

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Tercer axioma

Esta es la suposición de σ-aditividad :

Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimos de eventos mutuamente excluyentes ) satisface ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Algunos autores consideran meramente espacios de probabilidad finitamente aditivos , en cuyo caso sólo se necesita un álgebra de conjuntos , en lugar de un σ-álgebra . ^[5] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.

Consecuencias

De los axiomas de Kolmogorov se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar las probabilidades. Las demostraciones ^{[6] [7] [8]} de estas reglas son un procedimiento muy esclarecedor que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas anteriores. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus demostraciones:

Monotonía

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Si A es un subconjunto de B o igual a él, entonces la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

Prueba de monotonía^[6]

Para verificar la propiedad de monotonía, establecemos y , donde y para . A partir de las propiedades del conjunto vacío ( ), es fácil ver que los conjuntos son disjuntos por pares y . Por lo tanto, obtenemos del tercer axioma que ${\displaystyle E_{1}=A}$ ${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\geq 3}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Como, por el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y como converge a que es finito, obtenemos tanto como . ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad del conjunto vacío

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

En muchos casos, no es el único evento con probabilidad 0. ${\displaystyle \varnothing }$

Prueba de la probabilidad del conjunto vacío

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$desde , ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$aplicando el tercer axioma al lado izquierdo (la nota es disjunta consigo misma), y así ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$restando de cada lado de la ecuación. ${\displaystyle P(\varnothing )}$

La regla del complemento

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

Prueba de la regla del complemento

Dados y son mutuamente excluyentes y que : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (por el axioma 3)

y, ... (por el axioma 2) ${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

El límite numérico

De la propiedad de monotonía se deduce inmediatamente que

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Prueba del límite numérico

Dada la regla del complemento y el axioma 1 : ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Otras consecuencias

Otra propiedad importante es:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Esto se llama ley de la adición de probabilidad, o regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento en A o B es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B , menos la probabilidad de un evento que se encuentra tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

En primer lugar,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$. (por Axioma 3)

Entonces,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(por ). ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

También,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

y eliminando de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado. ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Una extensión de la ley de adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión .

Al establecer B como complemento A ^c de A en la ley de la adición se obtiene

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

Es decir, la probabilidad de que cualquier evento no ocurra (o el complemento del evento ) es 1 menos la probabilidad de que ocurra.

Ejemplo sencillo: lanzamiento de moneda

Consideremos un lanzamiento de moneda y supongamos que la moneda caerá en cara (H) o cruz (T) (pero no en ambas). No se hace ninguna suposición sobre si la moneda es justa o si existe algún sesgo que dependa o no de cómo se la lanza. ^[9]

Podemos definir:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Los axiomas de Kolmogorov implican que:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

La suma de la probabilidad de cara y la probabilidad de cruz es 1.

Véase también

• Álgebra de Borel  – Clase de conjuntos matemáticosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Probabilidad condicional  : Probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido.
• Diseño completamente probabilístico
• Estadística intuitiva  : fenómeno cognitivo en el que los organismos utilizan datos para hacer generalizaciones y predicciones sobre el mundo.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cuasiprobabilidad  : concepto en estadísticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de conjuntos  : Rama de las matemáticas que estudia los conjuntos.
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Kolmogorov, Andrey (1950) [1933]. Fundamentos de la teoría de la probabilidad. Nueva York, EE. UU.: Chelsea Publishing Company.
2. Aldous, David. "¿Cuál es el significado de los axiomas de Kolmogorov?". David Aldous . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
3. Cox, RT (1946). "Probabilidad, frecuencia y expectativa razonable". American Journal of Physics . 14 (1): 1–10. Código Bibliográfico :1946AmJPh..14....1C. doi :10.1119/1.1990764.
4. Cox, RT (1961). El álgebra de la inferencia probable . Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press.
5. Hájek, Alan (28 de agosto de 2019). «Interpretaciones de la probabilidad». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Consultado el 17 de noviembre de 2019 .
6. Ross, Sheldon M. (2014). Un primer curso de probabilidad (novena edición). Upper Saddle River, Nueva Jersey. pp. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2.OCLC 827003384  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Gerard, David (9 de diciembre de 2017). «Pruebas a partir de axiomas» (PDF) . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
8. Jackson, Bill (2010). "Probabilidad (Apuntes de clase - Semana 3)" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Universidad Queen Mary de Londres . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
9. Diaconis, Persi; Holmes, Susan; Montgomery, Richard (2007). "Sesgo dinámico en el lanzamiento de moneda" (PDF) . SIAM Review . 49 (211–235): 211–235. Bibcode :2007SIAMR..49..211D. doi :10.1137/S0036144504446436 . Consultado el 5 de enero de 2024 .

Lectura adicional

• DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidad y estadística. Lectura: Addison-Wesley. Págs. 12-16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs. 13–28.
• Definición formal de probabilidad en el sistema Mizar , y lista de teoremas demostrados formalmente sobre ella.