Función de autocorrelación parcial

Correlación parcial de una serie temporal con sus valores rezagados

Función de autocorrelación parcial de la profundidad del lago Huron con intervalo de confianza (en azul, graficado alrededor de 0)

En el análisis de series temporales , la función de autocorrelación parcial ( PACF ) proporciona la correlación parcial de una serie temporal estacionaria con sus propios valores rezagados, haciendo una regresión de los valores de la serie temporal en todos los rezagos más cortos. Contrasta con la función de autocorrelación , que no controla otros rezagos.

Esta función desempeña un papel importante en el análisis de datos destinado a identificar el grado de desfase en un modelo autorregresivo (AR) . El uso de esta función se introdujo como parte del enfoque Box-Jenkins para el modelado de series temporales, mediante el cual al trazar las funciones autocorrelativas parciales se podían determinar los desfases apropiados p en un modelo AR ( p ) o en un modelo ARIMA extendido ( p , d , q ).

Definición

Dada una serie temporal , la autocorrelación parcial de retardo , denotada , es la autocorrelación entre y con la dependencia lineal de en mediante eliminada. De manera equivalente, es la autocorrelación entre y la que no se explica por los retardos mediante , inclusive. ^[1] donde y son combinaciones lineales de que minimizan el error cuadrático medio de y respectivamente. Para procesos estacionarios , los coeficientes en y son los mismos, pero invertidos: ^[2] ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi _{k,k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+1}}$ ${\displaystyle z_{t+k-1}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ $${\displaystyle \phi _{1,1}=\operatorname {corr} (z_{t+1},z_{t}),{\text{ for }}k=1,}$$ $${\displaystyle \phi _{k,k}=\operatorname {corr} (z_{t+k}-{\hat {z}}_{t+k},\,z_{t}-{\hat {z}}_{t}),{\text{ for }}k\geq 2,}$$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$ ${\displaystyle \{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$ $${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+1}\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {z}}_{t}=\beta _{1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}.}$$

Cálculo

La función de autocorrelación parcial teórica de una serie temporal estacionaria se puede calcular utilizando el algoritmo de Durbin-Levinson: donde para y es la función de autocorrelación. ^{[3] [4] [5]} $${\displaystyle \phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (n-k)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}}}$$ ${\displaystyle \phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle \rho (n)}$

La fórmula anterior se puede utilizar con autocorrelaciones de muestra para encontrar la función de autocorrelación parcial de muestra de cualquier serie temporal dada. ^{[6] [7]}

Ejemplos

La siguiente tabla resume la función de autocorrelación parcial de diferentes modelos: ^{[5] [8]}

El comportamiento de la función de autocorrelación parcial refleja el de la función de autocorrelación para modelos autorregresivos y de promedio móvil. Por ejemplo, la función de autocorrelación parcial de una serie AR( p ) se interrumpe después de un desfase p de manera similar a la función de autocorrelación de una serie MA( q ) con desfase q . Además, la función de autocorrelación de un proceso AR( p ) se interrumpe al igual que la función de autocorrelación parcial de un proceso MA( q ). ^[2]

Identificación de modelos autorregresivos

Ejemplo de función de autocorrelación parcial con intervalo de confianza de una serie temporal AR(3) simulada

La autocorrelación parcial es una herramienta comúnmente utilizada para identificar el orden de un modelo autorregresivo. ^[6] Como se mencionó anteriormente, la autocorrelación parcial de un proceso AR( p ) es cero en rezagos mayores que p . ^{[5] [8]} Si se determina que un modelo AR es apropiado, entonces se examina el gráfico de autocorrelación parcial de muestra para ayudar a identificar el orden.

La autocorrelación parcial de los rezagos mayores que p para una serie temporal AR( p ) son aproximadamente independientes y normales con una media de 0. ^[9] Por lo tanto, se puede construir un intervalo de confianza dividiendo una puntuación z seleccionada por . Los rezagos con autocorrelaciones parciales fuera del intervalo de confianza indican que el orden del modelo AR es probablemente mayor o igual que el rezago. Trazar la función de autocorrelación parcial y dibujar las líneas del intervalo de confianza es una forma común de analizar el orden de un modelo AR. Para evaluar el orden, se examina el gráfico para encontrar el rezago después del cual las autocorrelaciones parciales están todas dentro del intervalo de confianza. Se determina que este rezago es probablemente el orden del modelo AR. ^[1] ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Referencias

1. "6.4.4.6.3. Diagrama de autocorrelación parcial". www.itl.nist.gov . Consultado el 14 de julio de 2022 .
2. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). Análisis de series temporales y sus aplicaciones: con ejemplos de R. Springer Texts in Statistics. Cham: Springer International Publishing. págs. 97–99. doi :10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN 978-3-319-52451-1.
3. Durbin, J. (1960). "El ajuste de modelos de series temporales". Revue de l'Institut International de Statistique / Revista del Instituto Internacional de Estadística . 28 (3): 233–244. doi :10.2307/1401322. ISSN  0373-1138. JSTOR  1401322.
4. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). Análisis de series temporales y sus aplicaciones: con ejemplos de R. Springer Texts in Statistics. Cham: Springer International Publishing. págs. 103-104. doi :10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN. 978-3-319-52451-1.
5. Enders, Walter (2004). Series temporales econométricas aplicadas (2.ª ed.). Hoboken, NJ: J. Wiley. pp. 65–67. ISBN 0-471-23065-0.OCLC 52387978  .
6. Box, George EP; Reinsel, Gregory C.; Jenkins, Gwilym M. (2008). Análisis de series temporales: pronóstico y control (4.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley. ISBN 9780470272848.
7. Brockwell, Peter J.; Davis, Richard A. (1991). Series temporales: teoría y métodos (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. pp. 102, 243–245. ISBN 9781441903198.
8. Das, Panchanan (2019). Econometría en teoría y práctica: análisis de datos transversales, de series temporales y de panel con Stata 15. 1. Singapur: Springer. págs. 294–299. ISBN 978-981-329-019-8.OCLC 1119630068  .
9. Quenouille, MH (1949). "Pruebas aproximadas de correlación en series temporales". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B (Metodológica) . 11 (1): 68–84. doi :10.1111/j.2517-6161.1949.tb00023.x.