Fórmula atómica

Concepto de lógica matemática

En lógica matemática , una fórmula atómica (también conocida como fórmula atómica o fórmula prima ) es una fórmula sin estructura proposicional más profunda , es decir, una fórmula que no contiene conectores lógicos o, equivalentemente, una fórmula que no tiene subfórmulas estrictas. Los átomos son, por lo tanto, las fórmulas bien formadas más simples de la lógica. Las fórmulas compuestas se forman combinando las fórmulas atómicas utilizando los conectores lógicos.

La forma precisa de las fórmulas atómicas depende de la lógica en consideración; para la lógica proposicional , por ejemplo, una variable proposicional a menudo se denomina de manera más breve "fórmula atómica", pero, más precisamente, una variable proposicional no es una fórmula atómica sino una expresión formal que denota una fórmula atómica. Para la lógica de predicados , los átomos son símbolos de predicado junto con sus argumentos, siendo cada argumento un término . En la teoría de modelos , las fórmulas atómicas son simplemente cadenas de símbolos con una firma dada , que puede o no ser satisfacible con respecto a un modelo dado. ^[1]

Fórmula atómica en lógica de primer orden

Los términos y proposiciones bien formados de la lógica ordinaria de primer orden tienen la siguiente sintaxis :

Términos :

• ${\displaystyle t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})}$,

es decir, un término se define recursivamente como una constante c (un objeto nombrado del dominio del discurso ), o una variable x (que abarca los objetos en el dominio del discurso), o una función n -aria f cuyos argumentos son términos t _k . Las funciones asignan tuplas de objetos a objetos.

Proposiciones:

• ${\displaystyle A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A}$,

es decir, una proposición se define recursivamente como un predicado n -ario P cuyos argumentos son términos t _k , o una expresión compuesta de conectivos lógicos (y, o) y cuantificadores (para-todo, existe) usados ​​con otras proposiciones.

Una fórmula atómica o átomo es simplemente un predicado aplicado a una tupla de términos; es decir, una fórmula atómica es una fórmula de la forma P ( t ₁ ,…, t _n ) para P un predicado y los t _n términos.

Todas las demás fórmulas bien formadas se obtienen componiendo átomos con conectivos lógicos y cuantificadores.

Por ejemplo, la fórmula ∀ x. P ( x ) ∧ ∃ y. Q ( y , f ( x )) ∨ ∃ z. R ( z ) contiene los átomos

• ${\displaystyle P(x)}$
• ${\displaystyle Q(y,f(x))}$
• ${\displaystyle R(z)}$.

Como no aparecen cuantificadores en una fórmula atómica, todas las apariciones de símbolos variables en una fórmula atómica son libres. ^[2]

Véase también

• En la teoría de modelos , las estructuras asignan una interpretación a las fórmulas atómicas.
• En la teoría de la prueba , la asignación de polaridad para las fórmulas atómicas es un componente esencial del enfoque.
• Oración atómica

Referencias

1. Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press. pp. 11–14. ISBN 0-521-58713-1.
2. WVO Quine, Lógica matemática (1981), pág. 161. Harvard University Press, 0-674-55451-5

Lectura adicional

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.