Lista de demostraciones matemáticas largas

Esta es una lista de demostraciones matemáticas inusualmente largas . Dichas demostraciones a menudo utilizan métodos computacionales y pueden considerarse no examinables .

A partir de 2011 ^[actualizar], la prueba matemática más larga, medida por el número de páginas publicadas en revistas científicas, es la clasificación de grupos finitos simples , con más de 10.000 páginas. Hay varias pruebas que serían mucho más largas que esto si se publicaran íntegramente los detalles de los cálculos informáticos de los que dependen.

Pruebas largas

La extensión de las pruebas inusualmente largas ha aumentado con el tiempo. Como regla general, 100 páginas en 1900, 200 páginas en 1950 o 500 páginas en 2000 son inusualmente largas para una prueba.

El teorema de Abel-Ruffini estuvo a punto de ser demostrado por Paolo Ruffini , pero su prueba, que abarcaba 500 páginas, fue mayoritariamente ignorada y más tarde, en 1824, Niels Henrik Abel publicó una prueba que requería solo seis páginas.
La clasificación de Killing de álgebras de Lie simples y complejas, incluido su descubrimiento de las excepcionales álgebras de Lie , ocupó 180 páginas en 4 artículos.
La construcción con regla y compás de un polígono de 65.537 lados, realizada por Johann Gustav Hermes, ocupó más de 200 páginas.
La prueba original del teorema de Lasker-Noether, escrita por Emanuel Lasker en 1905, ocupó 98 páginas, pero desde entonces se simplificó: las pruebas modernas tienen menos de una página.
El teorema de orden impar de 1963, de Feit y Thompson, tenía 255 páginas, lo que en ese momento era más de 10 veces más que lo que anteriormente se había considerado un artículo extenso sobre teoría de grupos.
1964 Resolución de singularidades . La demostración original de Hironaka tenía 216 páginas; desde entonces se ha simplificado considerablemente hasta quedar en unas 10 o 20 páginas.
La prueba de Abyhankar de la resolución de singularidades para 3 pliegues en característica mayor que 6, de 1966, ocupó alrededor de 500 páginas en varios artículos. En 2009, Cutkosky la simplificó a alrededor de 40 páginas.
1966 Representaciones de grupos de Lie en series discretas . La construcción de estas por parte de Harish-Chandra implicó una larga serie de artículos que totalizaron alrededor de 500 páginas. Su trabajo posterior sobre el teorema de Plancherel para grupos semisimples agregó otras 150 páginas a estos.
1968, la prueba de Novikov - Adian que resuelve el problema de Burnside sobre grupos infinitos finitamente generados con exponentes finitos negativos. El artículo original, dividido en tres partes, tiene más de 300 páginas. (Britton publicó posteriormente un artículo de 282 páginas en el que intentaba resolver el problema, pero su artículo contenía una laguna importante).
1960-1970 Fondements de la Géometrie Algébrique , Éléments de géométrie algébrique y Séminaire de géométrie algébrique . El trabajo de Grothendieck sobre los fundamentos de la geometría algebraica abarca miles de páginas. Aunque no se trata de una demostración de un solo teorema, hay varios teoremas en él cuyas demostraciones dependen de cientos de páginas anteriores. ^{[ dudoso – discutir ]}
Teorema de N-grupos de 1974. La clasificación de Thompson de N-grupos utilizó 6 artículos con un total de aproximadamente 400 páginas, pero también utilizó resultados anteriores como el teorema de orden impar , que lleva la longitud total a más de 700 páginas.
Conjetura de Ramanujan de 1974 y conjeturas de Weil . Si bien el artículo final de Deligne que demostraba estas conjeturas tenía "solo" unas 30 páginas, dependía de resultados de referencia en geometría algebraica y cohomología étale que Deligne estimó que tenían una extensión de unas 2000 páginas.
Teorema de los cuatro colores de 1974. La prueba de Appel y Haken ocupó 139 páginas y también dependió de largos cálculos informáticos.
El teorema de Gorenstein-Harada, que clasificaba grupos finitos de rangos seccionales 2 como máximo 4, tenía 464 páginas.
Serie de Eisenstein de 1976. La prueba de Langlands de la ecuación funcional para la serie de Eisenstein tenía 337 páginas.
Teorema de tricotomía de 1983. La prueba de Gorenstein y Lyons para el caso de rango al menos 4 tenía 731 páginas, y la prueba de Aschbacher para el caso de rango 3 agrega otras 159 páginas, para un total de 890 páginas.
Fórmula de traza de Selberg de 1983. La demostración de Hejhal de una forma general de la fórmula de traza de Selberg constaba de 2 volúmenes con una extensión total de 1322 páginas.
Fórmula de trazas de Arthur-Selberg . Las pruebas de Arthur de las distintas versiones de esta fórmula ocupan varios cientos de páginas repartidas en muchos artículos.
Teorema de regularidad de Almgren 2000. La prueba de Almgren tenía 955 páginas.
Teorema de Lafforgue de 2000 sobre la conjetura de Langlands para el grupo lineal general sobre cuerpos de funciones. La prueba de Laurent Lafforgue de este teorema tenía una extensión de unas 600 páginas, sin contar muchas páginas de resultados de fondo.
Conjetura de Poincaré de 2003 , Teorema de geometrización , Conjetura de geometrización . Las demostraciones originales de Perelman de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización no eran extensas, sino más bien esquemáticas. Varios otros matemáticos han publicado demostraciones con los detalles completos, que suman varios cientos de páginas.
Grupos de quasitina 2004. La clasificación de los grupos de quasitina simples de Aschbacher y Smith tenía 1221 páginas, uno de los artículos individuales más largos jamás escritos.
Clasificación de grupos finitos simples de 2004. La prueba de ello se extiende a lo largo de cientos de artículos de revistas, lo que hace difícil estimar su extensión total, que probablemente ronda las 10.000 a 20.000 páginas.
Teorema de Robertson-Seymour de 2004. La demostración ocupa unas 500 páginas repartidas en unos 20 artículos.
Conjetura de Kepler de 2005. La prueba de Hales implica varios cientos de páginas de argumentos publicados, junto con varios gigabytes de cálculos informáticos.
2006 El teorema del grafo perfecto fuerte , de Maria Chudnovsky , Neil Robertson , Paul Seymour y Robin Thomas . El artículo ocupó 180 páginas en Annals of Mathematics .

Cálculos informáticos largos

Hay muchos teoremas matemáticos que se han comprobado mediante largos cálculos informáticos. Si se escribieran como pruebas, muchos serían mucho más largos que la mayoría de las pruebas anteriores. En realidad, no hay una distinción clara entre los cálculos informáticos y las pruebas, ya que varias de las pruebas anteriores, como el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler, utilizan largos cálculos informáticos, así como muchas páginas de argumentos matemáticos. En el caso de los cálculos informáticos de esta sección, los argumentos matemáticos ocupan sólo unas pocas páginas, y la longitud se debe a cálculos largos pero rutinarios. Algunos ejemplos típicos de estos teoremas son:

Varias pruebas de la existencia de grupos esporádicos simples , como el grupo de Lyons , utilizaron originalmente cálculos informáticos con matrices grandes o con permutaciones sobre miles de millones de símbolos. En la mayoría de los casos, como en el grupo del monstruo bebé , las pruebas informáticas fueron reemplazadas posteriormente por pruebas más cortas que evitaban los cálculos informáticos. De manera similar, el cálculo de los subgrupos máximos de los grupos esporádicos más grandes utiliza muchos cálculos informáticos.
2004 Verificación de la hipótesis de Riemann para los primeros 10 ¹³ ceros de la función zeta de Riemann .
2007 Comprobación de que el juego de damas es un empate.
2008 Pruebas de que varios números de Mersenne con alrededor de diez millones de dígitos son primos.
Cálculos de grandes números de dígitos de π.
2010 Demostrando que el Cubo de Rubik se puede resolver en 20 movimientos .
2012 Demostrando que el Sudoku necesita al menos 17 pistas.
Conjetura ternaria de Goldbach de 2013 : Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres primos.
Prueba de 2014 de la conjetura de discrepancia de Erdős para el caso particular C=2: cada secuencia ±1 de longitud 1161 tiene una discrepancia de al menos 3; la prueba original, generada por un solucionador SAT, tenía un tamaño de 13 gigabytes y luego se redujo a 850 megabytes.
Para resolver el problema de las triples pitagóricas booleanas fue necesario generar 200 terabytes de pruebas. ^[1]
En 2017, Marijn Heule , coautor de la solución al problema de las ternas pitagóricas de Boole, anunció una prueba de 2 petabytes de que el quinto número de Schur es 161. ^[2]

Pruebas largas en lógica matemática

Kurt Gödel mostró cómo encontrar ejemplos explícitos de enunciados en sistemas formales que son demostrables en ese sistema pero cuya prueba más corta es absurdamente larga. Por ejemplo, el enunciado:

"Esta afirmación no se puede demostrar en aritmética de Peano en menos de un googolplex de símbolos"

es demostrable en aritmética de Peano, pero la prueba más corta tiene al menos un símbolo de googolplex. Tiene una prueba corta en un sistema más potente: de hecho, es fácilmente demostrable en aritmética de Peano junto con la afirmación de que la aritmética de Peano es consistente (lo cual no se puede demostrar en aritmética de Peano mediante el teorema de incompletitud de Gödel ).

En este argumento, la aritmética de Peano puede ser reemplazada por cualquier sistema consistente más poderoso, y un googolplex puede ser reemplazado por cualquier número que pueda describirse concisamente en el sistema.

Harvey Friedman encontró algunos ejemplos naturales explícitos de este fenómeno, dando algunas afirmaciones explícitas en la aritmética de Peano y otros sistemas formales cuyas demostraciones más cortas son ridículamente largas (Smoryński 1982). Por ejemplo, la afirmación

"Hay un entero n tal que si hay una secuencia de árboles con raíz T ₁ , T ₂ , ..., T _n tales que T _k tiene como máximo k +10 vértices, entonces algún árbol puede estar incrustado homeomórficamente en uno posterior"

es demostrable en aritmética de Peano, pero la prueba más corta tiene una longitud de al menos ¹⁰⁰⁰ 2, donde ⁰ 2 = 1 y ^{n + 1} 2 = 2 ^{( ⁿ 2 )} ( crecimiento tetracional ). El enunciado es un caso especial del teorema de Kruskal y tiene una prueba corta en aritmética de segundo orden .

Véase también

Referencias

^ Lamb, Evelyn (26 de mayo de 2016). "La prueba matemática de doscientos terabytes es la más grande jamás realizada: una computadora resuelve el problema de las triples pitagóricas de Boole, pero ¿es realmente matemática?". Nature .
^ Heule, Marijn JH (2017). "Schur número cinco". arXiv : 1711.08076 [cs.LO].

Krantz, Steven G. (2011), La prueba está en el pudín. La naturaleza cambiante de la prueba matemática (PDF) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-48744-1, ISBN 978-0-387-48908-7, Sr. 2789493
Smoryński, C. (1982), "Las variedades de la experiencia arbórea", Math. Intelligencer , 4 (4): 182–189, doi :10.1007/bf03023553, MR 0685558, S2CID 125748405