Conjugado armónico proyectivo

Punto encontrado separado de otro, dado un par de puntos

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B.
A, D, B, C forman un rango armónico.
KLMN es un cuadrángulo completo que lo genera.

En geometría proyectiva , el punto conjugado armónico de un punto en la línea proyectiva real con respecto a otros dos puntos se define mediante la siguiente construcción:

Dados tres puntos colineales A, B, C , sea L un punto que no se encuentra en su punto de unión y sea cualquier línea que pase por C la que se cruza con LA, LB en M, N respectivamente. Si AN y BM se cruzan en K , y LK se cruza con AB en D , entonces D se denomina conjugado armónico de C con respecto a A y B . ^[1]

El punto D no depende de qué punto L se tome inicialmente, ni de qué línea a través de C se use para encontrar M y N. Este hecho se desprende del teorema de Desargues .

En geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la relación cruzada como  ( A , B ; C , D ) = −1 .

Criterio de relación cruzada

Los cuatro puntos se denominan a veces rango armónico (en la línea proyectiva real) ya que se ha descubierto que D siempre divide el segmento AB internamente en la misma proporción en que C divide a AB externamente . Es decir:

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

Si estos segmentos están ahora dotados de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, estarán firmados y formarán una doble proporción conocida como razón cruzada (a veces doble razón ).

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

para lo cual un rango armónico se caracteriza por un valor de −1. Por lo tanto, escribimos:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

El valor de una razón cruzada en general no es único , ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de razón cruzada: {−1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que intercambiar los dos últimos puntos simplemente reciproca cada uno de estos valores pero no produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como razón cruzada armónica .

En términos de una razón doble, dados los puntos a, b en una línea afín, la razón de división ^[2] de un punto x es Nótese que cuando a < x < b , entonces t ( x ) es negativo, y que es positivo fuera del intervalo. La razón cruzada es una razón de razones de división, o una razón doble. Establecer la razón doble en menos uno significa que cuando t ( c ) + t ( d ) = 0 , entonces c y d son conjugados armónicos con respecto a a y b . Por lo tanto, el criterio de razón de división es que sean inversas aditivas . $${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$$ ${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$

La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición del círculo de Apolonio .

En algunos estudios escolares la configuración de un rango armónico se llama división armónica .

De punto medio

El punto medio y el infinito son conjugados armónicos.

Cuando x es el punto medio del segmento de a a b , entonces Por el criterio de razón cruzada, el conjugado armónico de x será y cuando t ( y ) = 1 . Pero no hay una solución finita para y en la línea que pasa por a y b . No obstante, lo que motiva la inclusión de un punto en el infinito en la línea proyectiva. Este punto en el infinito sirve como conjugado armónico del punto medio x . $${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$$ $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$

De cuadrángulo completo

Otra aproximación al conjugado armónico es a través del concepto de cuadrángulo completo como el KLMN en el diagrama anterior. Basado en cuatro puntos, el cuadrángulo completo tiene pares de lados y diagonales opuestos. En la expresión de conjugados armónicos de HSM Coxeter , las diagonales se consideran un par de lados opuestos:

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , lo que significa que existe un cuadrángulo IJKL tal que un par de lados opuestos se intersecan en A , y un segundo par en B , mientras que el tercer par se encuentra con AB en C y D. ^[3 ]

Fue Karl von Staudt quien utilizó por primera vez el conjugado armónico como base para la geometría proyectiva independientemente de consideraciones métricas:

...Staudt logró liberar la geometría proyectiva de la geometría elemental. En su Geometrie der Lage , Staudt introdujo un cuádruple armónico de elementos independientemente del concepto de razón cruzada siguiendo una ruta puramente proyectiva, utilizando un cuadrángulo o cuadrilátero completo. ^[4]

P ₁ = A , P ₂ = S , P ₃ = B , P ₄ = Q , D = M
(ignorar la M verde).

Para ver el cuadrángulo completo aplicado para obtener el punto medio, considere el siguiente pasaje de JW Young:

Si se trazan dos rectas arbitrarias AQ, AS a través de A y las rectas BS, BQ a través de B paralelas a AQ, AS respectivamente, las rectas AQ, SB se cortan, por definición, en un punto R en el infinito, mientras que AS, QB se cortan por definición en un punto P en el infinito. El cuadrilátero completo PQRS tiene entonces dos puntos diagonales en A y B , mientras que el par restante de lados opuestos pasa por M y el punto en el infinito en AB . El punto M es entonces por construcción el conjugado armónico del punto en el infinito en AB con respecto a A y B . Por otra parte, que M es el punto medio del segmento AB se sigue de la proposición familiar de que las diagonales de un paralelogramo ( PQRS ) se bisecan entre sí. ^[5]

Relaciones cuaternarias

Cuatro puntos ordenados en un rango proyectivo se denominan puntos armónicos cuando hay un tetrastigma en el plano tal que el primero y el tercero son codotes y los otros dos puntos están en los conectores del tercer codote. ^[6]

Si p es un punto que no está sobre una recta con puntos armónicos, las uniones de p con los puntos son rectas armónicas . De manera similar, si el eje de un lápiz de planos está oblicuo respecto de una recta con puntos armónicos, los planos sobre los puntos son planos armónicos . ^[6]

Un conjunto de cuatro en tal relación se ha denominado cuádruple armónico . ^[7]

Cónicas proyectivas

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: si P es un punto que no está en C y si una línea variable que pasa por P corta a C en los puntos A y B , entonces el conjugado armónico variable de P con respecto a A y B traza una línea. El punto P se llama polo de esa línea de conjugados armónicos y esta línea se llama línea polar de P con respecto a la cónica. Consulte el artículo Polo y polar para obtener más detalles.

Geometría inversa

En el caso en que la cónica sea un círculo, en los diámetros extendidos del círculo, los conjugados armónicos respecto del círculo son inversos en un círculo . Este hecho se desprende de uno de los teoremas de Smogorzhevsky: ^[8]

Si los círculos k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro de k e interseca a q , lo hace en puntos simétricos con respecto a  k .

Es decir, si la línea es un diámetro extendido de k , entonces las intersecciones con q son conjugados armónicos.

Cónicas y ecuación de Joachimthal

Consideremos como curva una elipse dada por la ecuación ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Sea un punto fuera de la elipse y una línea recta desde la cual se corta la elipse en los puntos y . Sea coordenadas . A continuación, tome un punto sobre y dentro de la elipse que sea tal que divida el segmento de línea en la razón a , es decir ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$.

En lugar de resolver estas ecuaciones para y es más fácil verificar por sustitución que las siguientes expresiones son las soluciones, es decir ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}$

Como el punto se encuentra en la elipse , se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

o

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

Esta ecuación, que es cuadrática en , se llama ecuación de Joachimthal. Sus dos raíces , determinan las posiciones de y en relación con y . Asociemos con y con . Entonces los diversos segmentos de línea están dados por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

y

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

Cuando esta expresión es , tenemos ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

Por lo tanto, divide «internamente» en la misma proporción que divide «externamente». La expresión ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

con valor (que lo hace autoinverso) se conoce como razón cruzada armónica. Con como se indica arriba, se tiene y por lo tanto el coeficiente de en la ecuación de Joachimthal se anula, es decir ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

Esta es la ecuación de una línea recta llamada polar (línea) del punto (polo) . Se puede demostrar que este polar de es la cuerda de contacto de las tangentes a la elipse desde . Si ponemos en la elipse ( ) la ecuación es la de la tangente en . También se puede demostrar que la directriz de la elipse es la polar del foco. ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle P}$

Tétradas de Galois

En la geometría de Galois sobre un campo de Galois GF( q ) una línea tiene q + 1 puntos, donde ∞ = (1,0) . En esta línea cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos de ellos se separan armónicamente entre sí. La condición

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

caracteriza a las tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a delinear algunos isomorfismos accidentales de los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7, 9 . ^[9]

Si q = 2 ⁿ , y dados A y B , entonces el conjugado armónico de C es él mismo. ^[10]

Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea

Sean P ₀ , P ₁ , P ₂ tres puntos diferentes sobre la recta proyectiva real. Considérese la secuencia infinita de puntos P _n , donde P _n es el conjugado armónico de P _{n -3} con respecto a P _{n -1} , P _{n -2} para n > 2 . Esta secuencia es convergente. ^[11]

Para un límite finito P tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

donde es la proporción áurea , es decir, para n grande . Para un límite infinito tenemos ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

Para una prueba considere el isomorfismo proyectivo

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

con

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

Referencias

1. RL Goodstein y EJF Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry , University College Leicester (editorial). Este texto sigue la geometría sintética . Construcción armónica en la página 11
2. Dirk Struik (1953) Lecciones sobre geometría analítica y proyectiva , página 7
3. HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , página 29, University of Toronto Press
4. BL Laptev y BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: geometría , página 41, Birkhäuser Verlag ISBN  3-7643-5048-2
5. John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , página 85, Asociación Matemática de América , Chicago: Open Court Publishing
6. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , páginas 15 y 16
7. Luis Santaló (1966) Geometría proyectiva , página 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires
8. AS Smogorzhevsky (1982) Geometría lobachevskiana , Mir Publishers , Moscú
9. Jean Dieudonné (1954) "Les Isomorphisms Exceptionals entre les groups classiques finis", Canadian Journal of Mathematics 6: 305 a 15 doi :10.4153/CJM-1954-029-0
10. Emil Artin (1957) Álgebra geométrica, página 82 vía Internet Archive
11. F. Leitenberger (2016) Divisiones armónicas iteradas y la proporción áurea, Forum Geometricorum 16: 429–430

• Juan Carlos Alverez (2000) Geometría Proyectiva, ver Capítulo 2: El Plano Proyectivo Real, sección 3: Cuádruples armónicos y teorema de von Staudt.
• Robert Lachlan (1893) Un tratado elemental sobre geometría pura moderna, enlace desde las Monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell .
• Bertrand Russell (1903) Principios de matemáticas , página 384.
• Russell, John Wellesley (1905). Geometría pura. Clarendon Press.