En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , que se supone que son funciones (suaves) . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares , que están bien definidos en el origen y los armónicos sólidos irregulares , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones juegan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen reescalando apropiadamente los armónicos esféricos :
Derivación, relación con armónicos esféricos.
Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del r de 3 vectores , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace de la siguiente forma
l 2operador de momento angularSe sabe que los armónicos esféricos Ymetroℓ
son funciones propias de l 2 :
Sustitución de Φ( r ) = F ( r ) Ymetroℓ
en la ecuación de Laplace se obtiene, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,
Las soluciones particulares de la ecuación total de Laplace son armónicos sólidos regulares :
armónicos sólidos irregulares polinomios armónicosecuación de LaplaceLa normalización de Racah
La normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones.
Teoremas de suma
La traslación del armónico sólido regular da una expansión finita,
coeficiente de Clebsch-GordanLa expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita,
coeficiente de Clebsch-GordanLos teoremas de la suma fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. [1] [2]
forma compleja
Los armónicos sólidos regulares son soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace . Separando lo indeterminado y escribiendo , se ve fácilmente que la ecuación de Laplace es equivalente a la fórmula de recursividad
vectores propiosSi combinamos la base de grados y la base de grados con la fórmula de recursividad, obtenemos una base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos (esta vez en tres variables) de grado que consta de vectores propios para (tenga en cuenta que la fórmula de recursión es compatible con la -acción porque el operador de Laplace es rotacionalmente invariante). Estos son los armónicos sólidos complejos:
Al conectar coordenadas esféricas , y usar se encuentra la relación habitual con los armónicos esféricos con un polinomio , que es (hasta la normalización) el polinomio de Legendre asociado , y así (nuevamente, hasta la elección específica de normalización).
forma real
Mediante una simple combinación lineal de armónicos sólidos de ± m estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones . Los armónicos sólidos regulares reales, expresados en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de orden en x , y , z con valores reales . La forma explícita de estos polinomios es de cierta importancia. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . Ahora se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales.
Combinación lineal
Escribimos de acuerdo con la definición anterior.
polinomio de Legendreℓde mfase de Condon-ShortleyLa siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales:
metro = 0 matriz unitaria,parte dependiente de z
Al escribir u = cos θ, la m -ésima derivada del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en u
z = r cos θrz( x , y ) parte dependiente
Consideremos a continuación, recordando que x = r sen θ cos φ y y = r sen θ sen φ ,
En total
Lista de funciones más bajas
Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta ℓ = 5 inclusive . Aquí
Las funciones más bajas y son:
Referencias
- ^ RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 10 , pág. 1261 (1977)
- ^ MJ Caola, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 11 , pág. L23 (1978)
- Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). "Rotación y traslación de armónicos esféricos sólidos regulares e irregulares". En Lowdin, Per-Olov (ed.). Avances en química cuántica . vol. 7. Prensa Académica. págs. 1–82. ISBN 9780080582320.
- Thompson, William J. (2004). Momento angular: una guía ilustrada sobre simetrías de rotación para sistemas físicos . Weinheim: Wiley-VCH. págs. 143-148. ISBN 9783527617838.