En matemáticas recreativas, el billar aritmético proporciona un método geométrico para determinar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números naturales mediante el uso de reflexiones dentro de un rectángulo cuyos lados son los dos números dados. Este es un ejemplo sencillo de análisis de trayectorias del billar dinámico .
Hugo Steinhaus [1] y Martin Gardner [ 2] han analizado el billar aritmético como un juego de lógica matemático y los profesores de matemáticas lo conocen con el nombre de «pool de papel». [3] Se ha utilizado como fuente de preguntas en los círculos matemáticos. [4]
Considere un rectángulo con lados enteros y construya un camino dentro de este rectángulo de la siguiente manera:
Si la longitud de un lado divide al otro, el camino es un zigzag que consta de uno o más segmentos. De lo contrario, el camino tiene autointersecciones y consta de segmentos de distintas longitudes en dos direcciones ortogonales. En general, el camino es la intersección del rectángulo con una cuadrícula de cuadrados (orientados a 45° con respecto a los lados del rectángulo).
Llamamos y a las longitudes de los lados del rectángulo y lo dividimos en cuadrados unitarios. El mínimo común múltiplo es el número de cuadrados unitarios atravesados por el camino de billar aritmético o, equivalentemente, la longitud del camino dividido por . En particular, el camino pasa por cada cuadrado unitario si y solo si y son coprimos .
Supongamos que ninguna de las longitudes de los dos lados divide al otro. Entonces, el primer segmento de la trayectoria aritmética de billar contiene el punto de autointersección que está más cerca del punto de partida. El máximo común divisor es el número de cuadrados unitarios atravesados por el primer segmento de la trayectoria hasta ese punto de autointersección.
El número de puntos de rebote para el camino aritmético de billar en los dos lados de longitud es igual a , y lo mismo para los dos lados de longitud . En particular, si y son coprimos, entonces el número total de puntos de contacto entre el camino y el perímetro del rectángulo (es decir, los puntos de rebote más las esquinas inicial y final) es igual a .
La esquina final del camino es opuesta a la esquina inicial si y solo si y son exactamente divisibles por la misma potencia de dos (por ejemplo, si ambos son impares), de lo contrario es una de las dos esquinas adyacentes, según si o tiene más factores en su factorización prima .
El camino es simétrico : si la esquina inicial y la final son opuestas, entonces el camino es simétrico con respecto al centro del rectángulo; de lo contrario, es simétrico con respecto a la bisectriz del lado que conecta la esquina inicial y la final.
Los puntos de contacto entre la trayectoria de billar aritmética y el perímetro del rectángulo están distribuidos uniformemente: la distancia a lo largo del perímetro (es decir, posiblemente rodeando la esquina) entre dos de esos puntos vecinos es igual a .
Establezca las coordenadas en el rectángulo de manera que el punto de partida sea y la esquina opuesta sea . Entonces, cualquier punto en la trayectoria aritmética de billar que tenga coordenadas enteras tiene la propiedad de que la suma de las coordenadas es par (la paridad no puede cambiar al moverse a lo largo de diagonales de cuadrados unitarios). Los puntos de autointersección de la trayectoria, los puntos de rebote y la esquina inicial y final son exactamente los puntos en el rectángulo cuyas coordenadas son múltiplos de y tales que la suma de las coordenadas es un múltiplo par de .
Reflejar el billar: considere un cuadrado con un lado . Al mostrar múltiples copias del rectángulo original (con simetría especular) podemos visualizar la trayectoria aritmética del billar como una diagonal de ese cuadrado. En otras palabras, podemos pensar en reflejar el rectángulo en lugar de los segmentos de la trayectoria.
Reduciendo al caso coprimo: Es conveniente reescalar el rectángulo dividiendo y por su máximo común divisor, operación que no altera la geometría del camino (por ejemplo el número de puntos de rebote).
Invertir el tiempo: El movimiento de la trayectoria es “reversible en el tiempo”, lo que significa que si la trayectoria está atravesando actualmente un cuadrado unitario particular (en una dirección particular), entonces no hay absolutamente ninguna duda de qué cuadrado unitario y de qué dirección acaba de venir. [4]
La prueba se puede encontrar en un artículo de divulgación. [5]
Si permitimos que el punto de inicio del camino sea cualquier punto del rectángulo con coordenadas enteras, entonces también hay caminos periódicos a menos que los lados del rectángulo sean coprimos. La longitud de cualquier camino periódico es igual a .
