En matemáticas , los polinomios de Legendre , llamados así en honor a Adrien-Marie Legendre (1782), son un sistema de polinomios completos y ortogonales con una gran cantidad de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Se pueden definir de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos y sugieren generalizaciones y conexiones con diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.
Definición por construcción como sistema ortogonal.
En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso en el intervalo . Es decir, es un polinomio de grado tal que
Con la condición de estandarización adicional , todos los polinomios se pueden determinar de forma única. Luego comenzamos el proceso de construcción: es el único polinomio correctamente estandarizado de grado 0. debe ser ortogonal a , lo que lleva a , y se determina exigiendo ortogonalidad a y , y así sucesivamente. se fija exigiendo ortogonalidad a todos con . Esto proporciona condiciones que, junto con la estandarización, fijan todos los coeficientes en . Con trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio se pueden determinar sistemáticamente, lo que lleva a la representación explícita en potencias de lo que se indica a continuación.
Esta definición de 's es la más simple. No apela a la teoría de ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, la completitud de los polinomios se deriva inmediatamente de la completitud de las potencias 1, . Finalmente, al definirlos mediante ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios de Legendre como uno de los tres sistemas polinomiales ortogonales clásicos . Los otros dos son los polinomios de Laguerre , que son ortogonales sobre la línea media , y los polinomios de Hermite , ortogonales sobre la línea completa , con funciones de peso que son las funciones analíticas más naturales que aseguran la convergencia de todas las integrales.
Definición mediante función generadora
Los polinomios de Legendre también se pueden definir como los coeficientes en una expansión formal en potencias de la función generadora [1]
El coeficiente de es un polinomio de grado con . Ampliando hasta ofertas
Sin embargo , es posible obtener los mayores sin recurrir a la expansión directa de la serie de Taylor . La ecuación 2 se diferencia con respecto a t en ambos lados y se reordena para obtener
El enfoque de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar en electrostática, como se explica a continuación, y es como Legendre definió por primera vez los polinomios en 1782.
Definición mediante ecuación diferencial
Una tercera definición es en términos de soluciones a la ecuación diferencial de Legendre :
Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ±1 , por lo que si se busca una solución utilizando el método estándar de Frobenius o de series de potencias , una serie sobre el origen solo convergerá para | x | < 1 en general. Cuando n es un número entero, la solución P n ( x ) que es regular en x = 1 también lo es en x = −1 , y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y completitud de estas soluciones se ve mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville . Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios,
La ecuación diferencial admite otra solución no polinómica, las funciones de Legendre de segunda clase . Una generalización de dos parámetros de (Ec. 1 ) se denomina ecuación diferencial general de Legendre , resuelta mediante los polinomios asociados de Legendre . Las funciones de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con parámetros no enteros .
En entornos físicos, la ecuación diferencial de Legendre surge naturalmente cada vez que se resuelve la ecuación de Laplace (y las ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) mediante la separación de variables en coordenadas esféricas . Desde este punto de vista, las funciones propias de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos , de los cuales los polinomios de Legendre son (hasta una constante multiplicativa) el subconjunto que queda invariante por las rotaciones alrededor del eje polar. Los polinomios aparecen como donde está el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios de Legendre proporciona una conexión profunda con la simetría rotacional. Muchas de sus propiedades, que se encuentran laboriosamente mediante métodos de análisis (por ejemplo, el teorema de la suma), se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos, y adquieren un profundo significado físico y geométrico.
Ortogonalidad y completitud
La estandarización fija la normalización de los polinomios de Legendre (con respecto a la norma L 2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 ). Dado que también son ortogonales con respecto a la misma norma, las dos afirmaciones [ se necesita aclaración ] se pueden combinar en una sola ecuación,
Que los polinomios estén completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua por partes con un número finito de discontinuidades en el intervalo [−1, 1] , la secuencia de sumas
Esta propiedad de integridad subyace a todas las expansiones analizadas en este artículo y, a menudo, se expresa en la forma
−1 ≤ x ≤ 1−1 ≤ y ≤ 1
La fórmula de Rodrigues y otras fórmulas explícitas
Una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre viene dada por la fórmula de Rodrigues :
Esta fórmula permite derivar una gran cantidad de propiedades de 's. Entre ellas se encuentran representaciones explícitas como
Los polinomios de Legendre ocurren en la solución de la ecuación del potencial estático de Laplace , ∇ 2 Φ( x ) = 0 , en una región libre de carga del espacio, utilizando el método de separación de variables , donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (sin dependencia en un ángulo azimutal ). Donde ẑ es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje ẑ (el ángulo cenital), la solución para el potencial será
A l y B l se determinarán de acuerdo con la condición de contorno de cada problema. [4]
También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.
Polinomios de Legendre en expansiones multipolares
Diagrama de expansión multipolar del potencial eléctrico.
Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito un poco diferente):
Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es menor que a , el potencial aún puede expandirse en los polinomios de Legendre como se indicó anteriormente, pero con a y r intercambiados. Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior.
Polinomios de Legendre en trigonometría
Las funciones trigonométricas cos nθ , también denominadas polinomios de Chebyshev T n (cos θ ) ≡ cos nθ , también pueden expandirse multipolarmente mediante los polinomios de Legendre P n (cos θ ) . Los primeros pedidos son los siguientes:
Otra propiedad es la expresión para sin ( n + 1) θ , que es
Polinomios de Legendre en redes neuronales recurrentes
En este caso, la ventana deslizante de a lo largo de las unidades de tiempo pasadas se aproxima mejor mediante una combinación lineal de los primeros polinomios de Legendre desplazados, ponderados juntos por los elementos de at time :
Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo , estas redes se pueden entrenar para superar en rendimiento a las unidades de memoria a corto plazo y arquitecturas relacionadas, utilizando menos recursos computacionales. [5]
Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares , [6] según
Otra propiedad útil es
promedio[−1, 1]
Dado que la ecuación diferencial y la propiedad de ortogonalidad son independientes del escalamiento, las definiciones de los polinomios de Legendre se "estandarizan" (a veces llamado "normalización", pero la norma real no es 1) al escalarse de manera que
Como se analizó anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recursividad de Bonnet dada por
Útil para la integración de polinomios de Legendre es
De lo anterior se puede ver también que
‖ P n ‖−1 ≤ x ≤ 1
Asintóticas
Asintóticamente, para , los polinomios de Legendre se pueden escribir como [7]
Todos los ceros de son reales, distintos entre sí y se encuentran en el intervalo . Además, si los consideramos como si dividieran el intervalo en subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero de . Esto se conoce como propiedad de entrelazado. Debido a la propiedad de paridad, es evidente que si es cero de , también lo es . Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gaussiana . La cuadratura específica basada en 's se conoce como cuadratura de Gauss-Legendre.
De esta propiedad y de los hechos que , se deduce que tiene mínimos y máximos locales en . De manera equivalente, tiene ceros en .
Evaluaciones puntuales
La paridad y la normalización implican que los valores en los límites sean
Polinomios de Legendre con argumento transformado
Polinomios de Legendre desplazados
Los polinomios de Legendre desplazados se definen como
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