Cancelar es un proceso matemático utilizado para eliminar subexpresiones de una expresión matemática , cuando esta eliminación no cambia el significado o el valor de la expresión porque las subexpresiones tienen efectos iguales y opuestos. [1] Por ejemplo, una fracción se expresa en sus términos más bajos cancelando los factores comunes del numerador y el denominador . [2] Como otro ejemplo, si a × b = a × c , entonces el término multiplicativo a puede cancelarse si a ≠0, lo que da como resultado la expresión equivalente b = c ; esto equivale a dividir por a .
Si las subexpresiones no son idénticas, aún es posible cancelarlas parcialmente. Por ejemplo, en la ecuación simple 3 + 2 y = 8 y , ambos lados en realidad contienen 2 y (porque 8 y es lo mismo que 2 y + 6 y ). Por lo tanto, los 2 y en ambos lados se pueden cancelar, dejando 3 = 6 y o y = 0,5. Esto equivale a restar 2 y de ambos lados.
A veces, cancelar puede introducir cambios limitados o soluciones adicionales a una ecuación . Por ejemplo, dada la desigualdad ab ≥ 3 b , parece que b en ambos lados se puede cancelar para dar a ≥ 3 como solución. Pero cancelar 'ingenuamente' de esta manera significará que no obtenemos todas las soluciones (conjuntos de ( a, b ) que satisfacen la desigualdad). Esto se debe a que si b fuera un número negativo , dividir por un negativo cambiaría la relación ≥ a una relación ≤. Por ejemplo, aunque 2 es mayor que 1, –2 es menor que –1. Además, si b fuera cero , entonces cero multiplicado por cualquier cosa es cero y cancelar significaría dividir por cero en ese caso, lo cual no se puede hacer. De hecho, aunque cancelar funciona, cancelar correctamente nos llevará a tres conjuntos de soluciones, no solo a una que pensábamos que teníamos. También nos dirá que nuestra solución 'ingenua' es sólo una solución en algunos casos, no en todos:
Por lo tanto, es posible que sea necesario tener algo de cuidado para garantizar que la cancelación se realice correctamente y que no se pase por alto ninguna solución o sea incorrecta. Nuestra desigualdad simple tiene tres conjuntos de soluciones, que son:
Nuestra solución "ingenua" (que a ≥ 3) también sería incorrecta a veces. Por ejemplo, si b = –5 entonces a = 4 no es una solución aunque 4 ≥ 3, porque 4 × (–5) es –20, y 3 x (–5) es –15, y –20 no es ≥ -15.
En matemáticas más avanzadas, la cancelación se puede utilizar en el contexto de series infinitas , cuyos términos se pueden cancelar para obtener una suma finita o una serie convergente . En este caso se suele utilizar el término telescópico . A menudo es necesario tener mucho cuidado y evitar errores para garantizar que la ecuación modificada sea válida, o para establecer los límites dentro de los cuales será válida, debido a la naturaleza de dichas series.
En ciencia computacional , la cancelación se utiliza a menudo para mejorar la precisión y el tiempo de ejecución de algoritmos numéricos .