Elipsoide índice

Relación entre los índices de refracción y las orientaciones de la luz en un cristal birrefringente

En óptica de cristales , el elipsoide índice (también conocido como indicatriz óptica ^[1] o, a veces, como elipsoide dieléctrico ^[2] ) es una construcción geométrica que representa de forma concisa los índices de refracción y las polarizaciones asociadas de la luz, como funciones de la orientación del frente de onda , en un cristal doblemente refractivo (siempre que el cristal no presente rotación óptica ). Cuando este elipsoide es cortado por su centro por un plano paralelo al frente de onda, la intersección resultante (llamada sección central o sección diametral ) es una elipse cuyos semiejes mayor y menor tienen longitudes iguales a los dos índices de refracción para esa orientación del frente de onda, y tienen las direcciones de las respectivas polarizaciones expresadas por el vector de desplazamiento eléctrico D. ^[3] Los semiejes principales del elipsoide índice se denominan índices de refracción principales . ^[4]

Del procedimiento de seccionamiento se deduce que cada semieje principal del elipsoide no es generalmente el índice de refracción para la propagación en la dirección de ese semieje, sino más bien el índice de refracción para la propagación perpendicular a ese semieje, con el vector D paralelo a ese semieje (y paralelo al frente de onda). Por lo tanto, la dirección de propagación (normal al frente de onda) a la que se aplica cada índice de refracción principal está en el plano perpendicular al semieje principal asociado.

Terminología

El elipsoide índice no debe confundirse con la superficie índice , cuyo radio vector (desde el origen) en cualquier dirección es de hecho el índice de refracción para la propagación en esa dirección; para un medio birrefringente, la superficie índice es la superficie de dos láminas cuyos dos radios vectores en cualquier dirección tienen longitudes iguales a los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide índice por un plano normal a esa dirección.

Si denotamos los semiejes principales del elipsoide índice, y elegimos un sistema de coordenadas cartesianas en el que estos semiejes están respectivamente en las direcciones , , y , la ecuación del elipsoide índice es ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Si el elipsoide índice es triaxial (es decir, sus semiejes principales son todos desiguales), hay dos planos de corte para los cuales la sección diametral se reduce a un círculo. Para frentes de onda paralelos a estos planos, se permiten todas las polarizaciones y tienen el mismo índice de refracción, por lo tanto, la misma velocidad de onda. Las direcciones normales a estos dos planos, es decir, las direcciones de una sola velocidad de onda para todas las polarizaciones, se denominan ejes binormales ^[5] o ejes ópticos ^[6] y , por lo tanto, se dice que el medio es biaxial ^{[Nota 1]} . Por lo tanto, paradójicamente, si el elipsoide índice de un medio es triaxial , el medio en sí se llama biaxial .

Si dos de los semiejes principales del elipsoide índice son iguales (en cuyo caso su longitud común se llama índice ordinario y la tercera longitud índice extraordinario ), el elipsoide se reduce a un esferoide (elipsoide de revolución) y los dos ejes ópticos se fusionan, de modo que se dice que el medio es uniaxial . ^{[Nota 2] A medida que el elipsoide índice se reduce a un esferoide, la} superficie índice de dos láminas construida a partir de él se reduce a una esfera y un esferoide que se tocan en los extremos opuestos de su eje común, que es paralelo al del elipsoide índice; ^[7] pero los ejes principales del elipsoide índice esferoidal y la lámina esferoidal de la superficie índice se intercambian. En el caso bien conocido de la calcita , por ejemplo, el elipsoide índice es un esferoide achatado , de modo que una lámina de la superficie índice es una esfera que toca ese esferoide achatado en el ecuador, mientras que la otra lámina de la superficie índice es un esferoide alargado que toca la esfera en los polos, con un radio ecuatorial (índice extraordinario) igual al radio polar del elipsoide índice esferoidal achatado. ^{[Nota 3]}

Si los tres semiejes principales del elipsoide índice son iguales, se reduce a una esfera: todas las secciones diametrales del elipsoide índice son circulares, por lo que se permiten todas las polarizaciones para todas las direcciones de propagación, con el mismo índice de refracción para todas las direcciones, y la superficie del índice se fusiona con el elipsoide índice (esférico); en resumen, el medio es ópticamente isótropo . Los cristales cúbicos exhiben esta propiedad ^[8] así como los medios transparentes amorfos como el vidrio y el agua. ^[9]

Historia

Se puede definir una superficie análoga al elipsoide índice para la velocidad de onda (normal al frente de onda) en lugar del índice de refracción. Sea n la longitud del radio vector desde el origen hasta un punto general en el elipsoide índice. Luego, dividiendo la ecuación ( 1 ) por n2 ^se obtiene

donde , , y son los cosenos directores del radio vector. Pero n es también el índice de refracción para un frente de onda paralelo a una sección diametral cuyo radio vector es semieje mayor o menor. Si ese frente de onda tiene velocidad , tenemos , donde es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[Nota 4]} Para los semiejes principales del elipsoide índice, para el cual n toma los valores, tomemos los valores a, b, c , respectivamente, de modo que y . Haciendo estas sustituciones en ( 2 ) y cancelando el factor común , obtenemos ${\displaystyle \cos \xi }$ ${\displaystyle \cos \eta }$ ${\displaystyle \cos \zeta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n=c_{0}/v}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n_{a}=c_{0}/a,}$  ${\displaystyle n_{b}=c_{0}/b,}$ ${\displaystyle n_{c}=c_{0}/c}$ ${\displaystyle c_{0}^{2}}$

Esta ecuación fue derivada por Augustin-Jean Fresnel en enero de 1822. ^[10] Si es la longitud del vector de radio, la ecuación describe una superficie con la propiedad de que los semiejes mayor y menor de cualquier sección diametral tienen longitudes iguales a las velocidades normales de onda de los frentes de onda paralelos a esa sección, y las direcciones de lo que Fresnel llamó las "vibraciones" (que ahora reconocemos como oscilaciones de D ). ${\displaystyle v}$

Mientras que la superficie descrita por ( 1 ) está en el espacio de índice (en el que las coordenadas son números adimensionales), la superficie descrita por ( 3 ) está en el espacio de velocidad (en el que las coordenadas tienen las unidades de velocidad). Mientras que la primera superficie es de segundo grado, la segunda es de cuarto grado, como se puede verificar redefiniendo como los componentes de velocidad y poniendo , etc.; por lo tanto, la última superficie ( 3 ) generalmente no es un elipsoide, sino otro tipo de ovaloide . Y como el elipsoide de índice genera la superficie de índice, la superficie ( 3 ), por el mismo proceso, genera lo que llamamos la superficie de velocidad normal . ^{[Nota 5]} Por lo tanto, la superficie ( 3 ) podría razonablemente llamarse el "ovaloide de velocidad normal". Fresnel, sin embargo, la llamó superficie de elasticidad , porque la derivó suponiendo que las ondas de luz eran ondas elásticas transversales, que el medio tenía tres direcciones perpendiculares en las que un desplazamiento de una molécula producía una fuerza restauradora en exactamente la dirección opuesta, y que la fuerza restauradora debida a una suma vectorial de desplazamientos era la suma vectorial de las fuerzas restauradoras debidas a los desplazamientos separados. ^[10] ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \cos \xi =x/v}$

Fresnel pronto se dio cuenta de que el elipsoide construido sobre los mismos semiejes principales que la superficie de elasticidad tiene la misma relación con las velocidades de los rayos que la que tiene la superficie de elasticidad con las velocidades normales de onda. ^{[11] [12]} El elipsoide de Fresnel ahora se llama elipsoide de rayos . Por lo tanto, en términos modernos, el elipsoide de rayos genera las velocidades de los rayos como el elipsoide de índice genera los índices de refracción. Los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide de rayos están en las direcciones permitidas del vector de campo eléctrico E . ^[13]

El término superficie índice fue acuñado por James MacCullagh en 1837. ^[14] En un artículo anterior, leído en 1833, MacCullagh había llamado a esta superficie la "superficie de refracción" y había demostrado que es generada por los semiejes mayor y menor de una sección diametral de un elipsoide que tiene semiejes principales inversamente proporcionales a los del elipsoide de Fresnel, ^[15] y que MacCullagh más tarde llamó el "elipsoide de índices". ^[16] En 1891, Lazarus Fletcher llamó a este elipsoide la indicatriz óptica . ^[17]

Interpretación electromagnética

Derivar el elipsoide índice y su propiedad generadora a partir de la teoría electromagnética no es trivial. ^{[18] Sin embargo,} dado el elipsoide índice, podemos relacionar fácilmente sus parámetros con las propiedades electromagnéticas del medio.

La velocidad de la luz en el vacío es donde y son respectivamente la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del vacío. Para un medio material transparente, todavía podemos suponer razonablemente que la permeabilidad magnética es (especialmente a frecuencias ópticas), ^[19] pero debe reemplazarse por donde es la permitividad relativa (también llamada constante dieléctrica ), de modo que la velocidad de onda se convierte en Dividiendo por , obtenemos el índice de refracción: Esta derivación trata como un escalar, que es válido en un medio isótropo. En un medio anisotrópico , el resultado solo se cumple para aquellas combinaciones de dirección de propagación y polarización que evitan la anisotropía, es decir, para aquellos casos en los que el vector de desplazamiento eléctrico D es paralelo al vector de campo eléctrico E , como en un medio isótropo. En vista de la simetría del elipsoide de índice, estos deben ser los casos en los que D está en la dirección de uno de los ejes. Entonces, denotando las permitividades relativas en las direcciones , , y por (las llamadas constantes dieléctricas principales ), y recordando que denotamos los índices de refracción para estas direcciones de D , debemos tener indicando que los semiejes del elipsoide de índice son las raíces cuadradas de las constantes dieléctricas principales. ^[20] Sustituyendo estas expresiones en ( 1 ), obtenemos la ecuación del elipsoide de índice en la forma alternativa ^[21] lo que explica por qué también se le llama elipsoide dieléctrico . $${\displaystyle c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}\epsilon _{0}\;\!,}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}\,.}$$ ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$ $${\displaystyle n_{a}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{b}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{c}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$

Véase también

• Birrefringencia
• Índice de refracción complejo
• Óptica de cristal
• D-DIA
• Descripciones matemáticas de la opacidad

Notas

1. O, en la literatura más antigua, biaxal .
2. O, en la literatura más antigua, uniaxal .
3. Yariv y Yeh (1984, págs. 86-7) dan un ejemplo del tipo contrario, en el que la superficie índice es alargada (Figura 4.4), y la superficie índice asociada (a la que llaman "superficie normal") comprende una esfera y un esferoide achatado que se tocan en los polos. En ambos ejemplos, las proporciones del frente de onda extraordinario que se expande desde una fuente puntual en el cristal son inversas a las de la superficie índice, porque el índice de refracción es inversamente proporcional a la velocidad normal del frente de onda.
4. O a veces es conveniente utilizar aire en lugar de vacío como medio de referencia; cf. Zernike y Midwinter, 1973, pág. 2.
5. Es decir, la superficie cuyo radio vector en cualquier dirección es la velocidad normal de la onda en esa dirección. Jenkins y White (1976, págs. 555-6) la llaman superficie de velocidad normal . Born y Wolf (2002, pág. 803) la llaman superficie normal . Pero Yariv y Yeh (1984) usan el término superficie normal para la superficie índice (pág. 87) o la superficie correspondiente para el vector de onda k (pág. 73).

Referencias

1. Born y Wolf, 2002, pág. 799; Yariv y Yeh, 1984, pág. 77.
2. Jenkins y White, 1976, págs. 560–61.
3. Born y Wolf, 2002, págs. 799-800; Landau y Lifshitz, 1960, pág. 320; Yariv y Yeh, 1984, págs. 77-8.
4. Zernike y pleno invierno, 1973, pág. 11.
5. Landau y Lifshitz, 1960, pág. 326.
6. Born y Wolf, 2002, pág. 801; Jenkins y White, 1976, págs. 562; Yariv y Yeh, 1984, pág. 73.
7. Cfr. Yariv y Yeh, 1984, págs.82, 84.
8. Landau y Lifshitz, 1960, pág. 321; Yariv y Yeh, 1984, págs. 82-3; Zernike y pleno invierno, 1973, pág. 12.
9. Born & Wolf, 2002, pág. 805.
10. A. Fresnel, "Extrait du Supplément au Mémoire sur la double réfraction" (¿leído el 13 de enero de 1822?), Impreso en Fresnel, 1868, págs. traducido como " Extraído del Suplemento de la Memoria sobre la doble refracción", Zenodo :  5886692 , 2022.
11. A. Fresnel, "Extrait d'un Mémoire sur la double réfraction",  Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, vol. 28, págs. 263–79 (marzo de 1825); reimpreso como "Extrait du second Mémoire sur la double réfraction" en Fresnel, 1868, págs. 465–78; traducido como " Extraído de una [segunda] memoria sobre la doble refracción", Zenodo :  5442206 , 2022. (Una versión anterior de este artículo apareció en Bulletin des Sciences par la Société Philomatique de Paris , vol. 9, págs. 63–71, mayo de 1822.)
12. Fresnel, 1868, págs. 395–6 (escrito a más tardar el 31 de marzo de 1822; véase pág. 442).
13. Born & Wolf, 2002, pág. 802.
14. J. MacCullagh, "Sobre las leyes de la reflexión y refracción cristalinas" (leído el 9 de enero de 1837), Transactions of the Royal Irish Academy , vol. 18 (1839), págs. 31–74, JSTOR  30078974, en la pág. 38.
15. J. MacCullagh, "Proposiciones geométricas aplicadas a la teoría ondulatoria de la luz" (leído el 24 de junio de 1833), Transactions of the Royal Irish Academy , vol. 17 (nominalmente para 1831), pp. 241–63, JSTOR  30078792, en la pág. 260.
16. Actas de la Real Academia Irlandesa , n.º 49 (13 de enero de 1845), págs. 49-51.
17. L. Fletcher, "La indicatriz óptica y la transmisión de la luz en los cristales" (leído el 16 de junio de 1891), Mineralogical Magazine and Journal of the Mineralogical Society , vol. 9, págs. 278-388 (diciembre de 1891); reimpreso en Londres: Oxford University Press Warehouse, 1892; revisado por "RTG" en Nature , vol. 46, núm. 1199 (20 de octubre de 1892), págs. 581-2.
18. Véase, por ejemplo, Born y Wolf, 2002, págs. 790-801; Jenkins y White, 1976, págs. 559-62; Landau y Lifshitz, 1960, págs. 313-20; Yariv y Yeh, 1984, págs. 69-79; Zernike y Midwinter, 1973, págs. 6-12. De estos, solo Yariv y Yeh utilizan unidades del SI ; los demás utilizan las menos conocidas unidades gaussianas , que cambian las formas de algunas ecuaciones.
19. Landau & Lifshitz, 1960, págs. 251–3 (§60). Los autores utilizan unidades gaussianas , en las que la permeabilidad magnética del vacío es 1.
20. Born & Wolf, 2002, pág. 799; Jenkins & White, 1976, pág. 560.
21. Born y Wolf, 2002, pág. 799; Jenkins y White, 1976, pág. 560; Landau y Lifshitz, 1960, pág. 320.

Bibliografía

• M. Born y E. Wolf, 2002, Principles of Optics , 7.ª edición, Cambridge University Press, 1999 (reimpreso con correcciones, 2002), ISBN 978-0-521-64222-4 . 
• A. Fresnel (ed. H. de Senarmont, E. Verdet y L. Fresnel), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , París: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866-1870), vol. 2 (1868).
• FA Jenkins y HE White, 1976, Fundamentos de óptica , 4.ª ed., Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• LD Landau y EM Lifshitz (tr. JB Sykes y JS Bell), 1960, Electrodinámica de medios continuos (vol. 8 del Curso de Física teórica ), Londres: Pergamon Press.
• A. Yariv y P. Yeh, 1984, Ondas ópticas en cristales: propagación y control de la radiación láser , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-09142-1 . 
• F. Zernike y JE Midwinter, 1973, Applied Nonlinear Optics , Nueva York: Wiley (reimpreso Mineola, NY: Dover, 2006).