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Anillo geométricamente regular

En geometría algebraica , un anillo geométricamente regular es un anillo noetheriano sobre un cuerpo que sigue siendo un anillo regular después de cualquier extensión finita del cuerpo base. Los esquemas geométricamente regulares se definen de manera similar. En la terminología antigua, los puntos con anillos locales regulares se llamaban puntos simples , y los puntos con anillos locales geométricamente regulares se llamaban puntos absolutamente simples . Sobre cuerpos que son de característica 0, o algebraicamente cerrados, o más generalmente perfectos , los anillos geométricamente regulares son lo mismo que los anillos regulares. La regularidad geométrica se originó cuando Claude Chevalley y André Weil señalaron a Oscar Zariski  (1947) que, sobre cuerpos no perfectos, el criterio jacobiano para un punto simple de una variedad algebraica no es equivalente a la condición de que el anillo local sea regular.

Un anillo local noetheriano que contiene un cuerpo k es geométricamente regular sobre k si y sólo si es formalmente suave sobre  k .

Ejemplos

Zariski (1947) dio los siguientes dos ejemplos de anillos locales que son regulares pero no geométricamente regulares.

  1. Supóngase que k es un cuerpo de característica p  > 0 y a es un elemento de k que no es una potencia p . Entonces, cada punto de la curva x p  +  y p  =  a es regular. Sin embargo, en el cuerpo k [ a 1/ p ], cada punto de la curva es singular. Por lo tanto, los puntos de esta curva son regulares, pero no geométricamente regulares.
  2. En el ejemplo anterior, la ecuación que define la curva se vuelve reducible sobre una extensión finita del cuerpo base. Esta no es la causa real del fenómeno: Chevalley le señaló a Zariski que la curva x p  +  y 2  =  a (con la notación del ejemplo anterior) es absolutamente irreducible pero aún tiene un punto que es regular pero no geométricamente regular.

Véase también

Referencias