Distribución relativista de Breit-Wigner

Resonancia de partículas relativistas y ensanchamiento de la línea de desintegración.

La distribución relativista de Breit-Wigner (según la fórmula de resonancia nuclear de 1936 ^[1] de Gregory Breit y Eugene Wigner ) es una distribución de probabilidad continua con la siguiente función de densidad de probabilidad , ^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\ \left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}\ }}\ ,}$

donde k es una constante de proporcionalidad, igual a

${\displaystyle k={\frac {\ 2{\sqrt {2\ }}\ M\ \Gamma \ \gamma \ }{\ \pi {\sqrt {M^{2}+\gamma \ }}\ }}\quad }$con ${\displaystyle \quad \gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)\ }}~.}$

(Esta ecuación está escrita utilizando unidades naturales , ħ = c = 1   ).  

Se utiliza con mayor frecuencia para modelar resonancias (partículas inestables) en física de alta energía . En este caso, E es la energía del centro de masas que produce la resonancia, M es la masa de la resonancia y Γ es el ancho de resonancia (o ancho de desintegración ), relacionado con su vida media según τ = 1 / Γ . (Con unidades incluidas, la fórmula es τ = ħ / Γ . )

Uso

La probabilidad de producir la resonancia a una energía dada E es proporcional a f ( E ) , de modo que un gráfico de la tasa de producción de la partícula inestable en función de la energía traza la forma de la distribución relativista de Breit-Wigner. Nótese que para valores de E fuera del máximo en M tales que | E ² − M ² | = M Γ   , (por lo tanto | E − M | = Γ / 2   para M ≫ Γ   ), la distribución f se ha atenuado a la mitad de su valor máximo, lo que justifica el nombre para Γ , ancho en la mitad del máximo .     

En el límite del ancho que desaparece,   Γ → 0   , la partícula se vuelve estable a medida que la distribución de Lorentz f se agudiza infinitamente hasta   2 M δ ( E ² − M ² )   , donde   δ   es la función delta de Dirac (impulso puntual).

En general, Γ también puede ser una función de E ; esta dependencia normalmente solo es importante cuando Γ no es pequeño en comparación con M y se debe tener en cuenta la dependencia del ancho del espacio de fase . (Por ejemplo, en la desintegración del mesón rho en un par de piones ). El factor de M ² que multiplica   Γ ² también debe reemplazarse con E ² (o E ⁴ / M ²   , etc.) cuando la resonancia es amplia. ^[3]       

La forma de la distribución relativista de Breit-Wigner surge del propagador de una partícula inestable, ^[4] que tiene un denominador de la forma p ² − M ² + i M Γ   . (Aquí, p ² es el cuadrado del cuadrimpulso transportado por esa partícula en el diagrama de Feynman del árbol involucrado). El propagador en su marco de reposo es entonces proporcional a la amplitud mecánico-cuántica para la desintegración utilizada para reconstruir esa resonancia, 

${\displaystyle \ {\frac {\sqrt {k\ }}{\ \left(E^{2}-M^{2}\right)+i\ M\ \Gamma \ }}~.}$

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al cuadrado absoluto de la amplitud, por lo que la distribución de Breit-Wigner relativista anterior es para la función de densidad de probabilidad.

La forma de esta distribución es similar a la amplitud de la solución de la ecuación clásica de movimiento para un oscilador armónico impulsado amortiguado e impulsado por una fuerza externa sinusoidal . Tiene la forma de resonancia estándar de la distribución de Lorentz o Cauchy , pero involucra variables relativistas s = p ²   , aquí   = E ²   . La distribución es la solución de la ecuación diferencial para la amplitud al cuadrado con respecto a la energía (frecuencia), en un oscilador forzado clásico de este tipo,  

${\displaystyle f'\!(\mathrm {E} )\ \left(\left(\ \mathrm {E} ^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}\ M^{2}\right)-4\ \mathrm {E} \ \left(M^{2}-\mathrm {E} ^{2}\right)\ f(\mathrm {E} )=0\ ,}$

o más bien

${\displaystyle {\frac {\ f'\!(\mathrm {E} )\ }{\ f(\mathrm {E} )\ }}~=~{\frac {\ 4\ \left(M^{2}-\mathrm {E} ^{2}\right)\ \mathrm {E} \ }{\ \left(\ \mathrm {E} ^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}\ M^{2}\ }}\ ,}$

con

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{~\Gamma ^{2}\ M^{2}\ }}~.}$

Ensanchamiento gaussiano

En el experimento, el haz incidente que produce resonancia siempre tiene cierta dispersión de energía alrededor de un valor central. Por lo general, se trata de una distribución gaussiana/normal . La forma de resonancia resultante en este caso viene dada por la convolución de la distribución de Breit-Wigner y la distribución gaussiana.

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{\ (E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\ \Gamma )^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ \sigma {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ e^{-{\frac {\ (E'-E)^{2}}{\ 2\sigma ^{2}\ }}}\operatorname {d} E'~.}$

Esta función se puede simplificar ^[5] introduciendo nuevas variables,

${\displaystyle \ t={\frac {\ E-E'\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad u_{1}={\frac {\ E-M\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad u_{2}={\frac {\ E+M\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad a={\frac {\ k\ \pi \ }{~2\ \sigma ^{2}\ }}\ ,}$

Para obtener

${\displaystyle \ V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {\ H_{2}(a,u_{1},u_{2})\ }{\ \sigma ^{2}2{\sqrt {\pi \ }}\ }}\ ,}$

donde la función de ensanchamiento de línea relativista ^[5] tiene la siguiente definición,

${\displaystyle \ H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {\ a\ }{\ \pi \ }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {~e^{-t^{2}}}{~(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}\ }}\operatorname {d} t~.}$

${\displaystyle H_{2}}$es la contraparte relativista de la función de ensanchamiento de línea similar ^[6] para el perfil de Voigt utilizado en espectroscopia (véase también § 7.19 de ^[7] ).

Referencias

1. Breit, G.; Wigner, E. (1936). "Captura de neutrones lentos". Physical Review . 49 (7): 519. Bibcode :1936PhRv...49..519B. doi :10.1103/PhysRev.49.519.
2. Véase Pythia 6.4 Physics and Manual (página 98 en adelante) para una discusión sobre los anchos de partículas en el manual de PYTHIA . Tenga en cuenta que esta distribución generalmente se representa como una función de la energía al cuadrado.
3. Bohm, A.; Sato, Y. (2005). "Resonancias relativistas: sus masas, anchos, tiempos de vida, superposición y evolución causal". Physical Review D . 71 (8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..71h5018B. doi :10.1103/PhysRevD.71.085018. S2CID  119417992.
4. Brown, LS (1994). Teoría cuántica de campos . Cambridge University Press. § 6.3. ISBN 978-0521469463.
5. Kycia, Radosław A.; Jadach, Stanisław (15 de julio de 2018). "Perfil de Voigt relativista para partículas inestables en física de alta energía". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 463 (2): 1040–1051. arXiv : 1711.09304 . doi :10.1016/j.jmaa.2018.03.065. ISSN  0022-247X. S2CID  78086748.
6. Finn, GD; Mugglestone, D. (1 de febrero de 1965). «Tablas de la función de ensanchamiento de línea H(a,v)». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 129 (2): 221–235. doi : 10.1093/mnras/129.2.221 . ISSN  0035-8711.
7. Manual de funciones matemáticas del NIST. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . Olver, Frank WJ Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.OCLC 502037224  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)