En el área matemática de la topología , la conjetura generalizada de Poincaré es una afirmación de que una variedad que es una esfera de homotopía es una esfera . Más precisamente, se fija una categoría de variedades: topológicas ( Top ), lineales por partes ( PL ) o diferenciables ( Diff ). Entonces, la afirmación es
El nombre deriva de la conjetura de Poincaré , que se hizo para variedades (topológicas o PL) de dimensión 3, donde ser una esfera de homotopía es equivalente a estar simplemente conexa y cerrada . Se sabe que la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera o falsa en varios casos, debido al trabajo de muchos topólogos distinguidos, incluidos los ganadores de la medalla Fields John Milnor , Steve Smale , Michael Freedman y Grigori Perelman .
A continuación se presenta un resumen del estado de la conjetura generalizada de Poincaré en diversos contextos.
Así, la veracidad de las conjeturas de Poincaré cambia según la categoría en la que se formulen. En términos más generales, la noción de isomorfismo difiere entre las categorías Top, PL y Diff. Es la misma en la dimensión 3 y por debajo. En la dimensión 4, PL y Diff concuerdan, pero Top difiere. En dimensiones superiores a 6 todas difieren. En las dimensiones 5 y 6 cada variedad PL admite una estructura infinitamente diferenciable que se denomina compatible con Whitehead . [2]
Los casos n = 1 y 2 son conocidos desde hace mucho tiempo por la clasificación de variedades en esas dimensiones.
Para una n-esfera de homotopía suave o PL, en 1960 Stephen Smale demostró que era homeomorfa a la n -esfera y posteriormente extendió su prueba a ; [3] recibió una Medalla Fields por su trabajo en 1966. Poco después del anuncio de una prueba de Smale, John Stallings dio una prueba diferente para dimensiones al menos 7 de que una n -esfera de homotopía PL era homeomorfa a la n -esfera, usando la noción de "envolvente". [4] EC Zeeman modificó la construcción de Stallings para que funcionara en dimensiones 5 y 6. [5] En 1962, Smale demostró que una n -esfera de homotopía PL es PL-isomorfa a la n- esfera PL estándar para n al menos 5. [6] En 1966, MHA Newman extendió la envolvente PL a la situación topológica y demostró que para una n -esfera de homotopía topológica es homeomorfa a la n -esfera. [7]
Michael Freedman resolvió el caso topológico en 1982 y recibió una medalla Fields en 1986. [8] La prueba inicial consistió en un esquema de 50 páginas, en el que faltaban muchos detalles. Freedman dio una serie de conferencias en ese momento, convenciendo a los expertos de que la prueba era correcta. En 2013 se inició un proyecto para producir una versión escrita de la prueba con los antecedentes y todos los detalles completos, con el apoyo de Freedman. El resultado del proyecto, editado por Stefan Behrens, Boldizsar Kalmar, Min Hoon Kim, Mark Powell y Arunima Ray, con contribuciones de 20 matemáticos, se publicó en agosto de 2021 en forma de un libro de 496 páginas, The Disc Embedding Theorem . [9] [10]
Grigori Perelman resolvió el caso (donde los casos topológico, PL y diferenciable coinciden) en 2003 en una secuencia de tres artículos. [11] [12] [13] Se le ofreció una Medalla Fields en agosto de 2006 y el Premio del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay en marzo de 2010, pero rechazó ambos.
La conjetura generalizada de Poincaré es verdadera topológicamente, pero falsa en algunas dimensiones en términos de uniformidad. Esto resulta de la construcción de las esferas exóticas , variedades que son homeomorfas, pero no difeomorfas, respecto de la esfera estándar, que pueden interpretarse como estructuras no estándar uniformes en la esfera estándar (topológica).
Por lo tanto, las esferas de homotopía que produjo John Milnor son homeomorfas (top-isomorfas y, de hecho, homeomorfas lineales por partes) a la esfera estándar , pero no son difeomorfas (diff-isomorfas) a ella y, por lo tanto, son esferas exóticas.
Michel Kervaire y Milnor demostraron que la 7-esfera orientada tiene 28 = A001676(7) estructuras suaves diferentes (o 15 ignorando las orientaciones), y en dimensiones superiores normalmente hay muchas estructuras suaves diferentes en una esfera. [14] Se sospecha que ciertas estructuras diferenciables en la 4-esfera, llamadas giros de Gluck , no son isomorfas a la estándar, pero por el momento no se conocen invariantes topológicos capaces de distinguir diferentes estructuras suaves en una 4-esfera. [15]
Para variedades lineales por partes , la conjetura de Poincaré es verdadera excepto posiblemente en dimensión 4, donde la respuesta es desconocida y equivalente al caso liso. En otras palabras, cada variedad PL compacta de dimensión distinta de 4 que sea homotópicamente equivalente a una esfera es PL isomorfa a una esfera. [2]
