Altura de escala

La altura de la escala de la atmósfera terrestre es de unos 8,5 km, como se puede confirmar en este diagrama de presión del aire p por altitud h : a una altitud de 0, 8,5 y 17 km , la presión es de aproximadamente 1000, 370 y 140 hPa , respectivamente. .

En las ciencias atmosféricas , terrestres y planetarias , una altura de escala , generalmente indicada con la letra H mayúscula , es una distancia ( vertical o radial ) sobre la cual una cantidad física disminuye en un factor de e (la base de los logaritmos naturales , aproximadamente 2,718). .

Altura de escala utilizada en un modelo de presión atmosférica simple.

Para las atmósferas planetarias, la altura de escala es el aumento de altitud para el cual la presión atmosférica disminuye en un factor de e . La altura de la escala permanece constante para una temperatura particular. Se puede calcular mediante ^{[1] [2]}

$${\displaystyle H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}$$

$${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}}}$$

• k _B = constante de Boltzmann =1.381 × 10 ⁻²³  J⋅K ^{−1 [3]}
• R = constante de los gases
• T = temperatura atmosférica media en kelvins = 250 K ^[4] para la Tierra
• m = masa media de una molécula (unidades kg)
• M = masa media de un mol de partículas atmosféricas = 0,029 kg/mol para la Tierra
• g = aceleración debida a la gravedad en la ubicación actual (m/s ² )

La presión (fuerza por unidad de área) a una altitud determinada es el resultado del peso de la atmósfera suprayacente. Si a una altura de z la atmósfera tiene densidad ρ y presión P , entonces moverse hacia arriba una altura infinitamente pequeña dz disminuirá la presión en una cantidad dP , igual al peso de una capa de atmósfera de espesor  dz .

De este modo:

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho }$$

gdzgecuación de estadogas idealMT

$${\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}}$$

Combinando estas ecuaciones se obtiene

$${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {k_{\text{B}}T}{mg}}}}$$

H

$${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}}$$

P ₀znivel del marz

$${\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)}$$

Esto se traduce en que la presión disminuye exponencialmente con la altura. ^[5]

En la atmósfera terrestre , la presión al nivel del mar P ₀ tiene un promedio de aproximadamente1,01 × 10 ⁵  Pa , la masa molecular media del aire seco es 28,964 u y, por tanto, m = 28,964 ×1,660 × 10 ⁻²⁷ =4,808 × 10 ⁻²⁶  kg . En función de la temperatura, la altura de escala de la atmósfera terrestre es, por tanto, H / T = k / mg = (1,38/(4,808×9,81))×10 ³ =29,26 m/K . Esto produce las siguientes alturas de escala para temperaturas del aire representativas.

• T = 290 K, altura = 8500 m
• T = 273 K, Alt = 8000 m
• T = 260 K, H = 7610 m
• T = 210 K, altura = 6000 m

Estas cifras deben compararse con la temperatura y densidad de la atmósfera terrestre trazadas en NRLMSISE-00 , que muestra que la densidad del aire cae de 1200 g/m ³ al nivel del mar a 0,5 ³ = 0,125 g/m ³ a 70 km, un factor de 9600, lo que indica una altura de escala promedio de 70/ln(9600) = 7,64 km, consistente con la temperatura promedio del aire indicada en ese rango cercano a 260 K.

Nota:

• La densidad está relacionada con la presión mediante las leyes de los gases ideales . Por lo tanto, la densidad también disminuirá exponencialmente con la altura a partir de un valor del nivel del mar de ρ ₀ aproximadamente igual a 1,2 kg m ⁻³
• A alturas superiores a los 100 km, es posible que la atmósfera ya no esté bien mezclada. Entonces cada especie química tiene su propia altura de escala.
• Aquí se supuso que la temperatura y la aceleración gravitacional eran constantes, pero ambas pueden variar en grandes distancias.

Ejemplos planetarios

A continuación se muestran alturas aproximadas a escala atmosférica para cuerpos seleccionados del Sistema Solar.

• Venus : 15,9 kilómetros ^[6]
• Tierra : 8,5 km ^[7]
• Marte : 11,1 km ^[8]
• Júpiter : 27 km ^[9]
• Saturno : 59,5 km ^[10]
  • Titán : 21 km ^[11]
• Urano : 27,7 km ^[12]
• Neptuno : 19,1–20,3 km ^[13]
• Plutón : ~50 km ^[14]

Altura de escala para un disco delgado

Una representación esquemática del equilibrio de fuerzas en un disco de gas alrededor de un objeto central, por ejemplo, una estrella.

Para un disco de gas alrededor de un objeto central condensado, como, por ejemplo, una protoestrella, se puede derivar una altura de escala del disco que es algo análoga a la altura de escala planetaria. Comenzamos con un disco de gas que tiene una masa pequeña en relación con el objeto central. Suponemos que el disco está en equilibrio hidrostático con la componente z de la gravedad de la estrella, donde la componente de gravedad apunta al plano medio del disco:

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$$

dónde:

• G = Constante gravitacional ≈6.674 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ^{−2 [15]}
• r = la coordenada cilíndrica radial para la distancia desde el centro de la estrella u objeto condensado centralmente
• z = la coordenada cilíndrica de altura/altitud para la distancia desde el plano medio del disco (o centro de la estrella)
• M _* = la masa de la estrella/objeto condensado centralmente
• P = la presión del gas en el disco
• ${\displaystyle \rho }$= la densidad de masa del gas en el disco

En la aproximación del disco delgado, la ecuación de equilibrio hidrostático es ${\displaystyle z\ll r}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}}$$

Para determinar la presión del gas se puede utilizar la ley de los gases ideales :

$${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}}$$

• T = la temperatura del gas en el disco, donde la temperatura es función de r , pero independiente de z
• ${\displaystyle {\bar {m}}}$= la masa molecular media del gas

Usando la ley de los gases ideales y la ecuación de equilibrio hidrostático, se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{kTr^{3}}}}$$

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)}$$

r ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle h_{D}}$

$${\displaystyle h_{D}={\sqrt {\frac {2kTr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {\left(T/100\ {\text{K}}\right)\left(r/1{\text{ au}}\right)^{3}}{\left(M_{*}/M_{\odot }\right)\left({\bar {m}}/2{\text{ amu}}\right)}}}\ {\text{ au}}}$$

masa solarunidad astronómicaunidad de masa atómica ${\displaystyle M_{\odot }}$ ${\displaystyle {\text{au}}}$ ${\displaystyle {\text{amu}}}$

Como aproximación ilustrativa, si ignoramos la variación radial de la temperatura, vemos que el disco aumenta en altitud a medida que uno se aleja radialmente del objeto central. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h_{D}\propto r^{3/2}}$

Debido a la suposición de que la temperatura del gas en el disco, T , es independiente de z , a veces se la conoce como altura de escala del disco isotérmico. ${\displaystyle h_{D}}$

Altura de la escala del disco en un campo magnético.

Un campo magnético en un disco de gas delgado alrededor de un objeto central puede cambiar la altura de escala del disco. ^{[16] [17] [18]} Por ejemplo, si un disco no perfectamente conductor gira a través de un campo magnético poloidal (es decir, el campo magnético inicial es perpendicular al plano del disco), entonces un toroidal (es decir, paralelo al plano del disco) se producirá un campo magnético dentro del disco, que pellizcará y comprimirá el disco. En este caso, la densidad del gas del disco es: ^[18]

$${\displaystyle \rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{D}}}\right)^{2}\right)\right]}$$

de corte ${\displaystyle \rho _{\text{cut}}}$

$${\displaystyle \rho _{\rm {cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{D}r)^{2}\left({\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\right)\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{K}}}-1\right)^{2}}$$

• ${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre
• ${\displaystyle \sigma _{D}}$es la conductividad eléctrica del disco
• ${\displaystyle B_{z}}$es la densidad de flujo magnético del campo poloidal en la dirección ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \Omega _{*}}$es la velocidad angular de rotación del objeto central (si el campo magnético poloidal es independiente del objeto central, entonces se puede establecer en cero) ${\displaystyle \Omega _{*}}$
• ${\displaystyle \Omega _{K}}$es la velocidad angular kepleriana del disco a una distancia del objeto central. ${\displaystyle r}$

Estas fórmulas dan la altura máxima, , del disco magnetizado como ${\displaystyle H_{B}}$

$${\displaystyle H_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\rm {cut}}\right)}},}$$

${\displaystyle h_{B}}$

$${\displaystyle h_{B}=h_{D}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}\ .}$$

Ver también

• Tiempo constante

Referencias

1. "Glosario de Meteorología - altura de escala". Sociedad Meteorológica Estadounidense (AMS).
2. "Altura de la escala de presión". Investigación Wolfram .
3. "Valor CODATA 2018: constante de Boltzmann". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
4. "Daniel J. Jacob:" Introducción a la química atmosférica ", Princeton University Press, 1999". Archivado desde el original el 10 de abril de 2013 . Consultado el 18 de abril de 2013 .
5. "Ejemplo: la altura de escala de la atmósfera terrestre" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011.
6. "Hoja informativa sobre Venus". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
7. "Hoja informativa sobre la Tierra". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
8. "Hoja informativa sobre Marte". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
9. "Hoja informativa sobre Júpiter". NASA. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2011 . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
10. "Hoja informativa sobre Saturno". NASA. Archivado desde el original el 18 de agosto de 2011 . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
11. Justo, CG; Aleta Duvall; Vernon W. Keller (1 de agosto de 2003). "Modelo de atmósferas a nivel de ingeniería para Titán y Marte". Taller internacional sobre análisis y ciencia de la trayectoria de descenso y entrada atmosférica de sondas planetarias, Lisboa, Portugal, 6 al 9 de octubre de 2003, Actas: ESA SP-544 . ESA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
12. "Hoja informativa sobre Urano". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
13. "Hoja informativa sobre Neptuno". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2013 .
14. "Hoja informativa sobre Plutón". NASA . Consultado el 28 de septiembre de 2020 .
15. "Valor CODATA 2018: constante de gravitación newtoniana". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
16. Lovelace, RVE; Mehanian, C.; Mobarry, CM; Sulkanen, ME (septiembre de 1986). "Teoría de flujos magnetohidrodinámicos axisimétricos: discos". Suplemento de revista astrofísica . 62 : 1. Código Bib : 1986ApJS...62....1L. doi : 10.1086/191132 . Consultado el 26 de enero de 2022 .
17. Campbell, CG; Heptinstall, PM (agosto de 1998). "Estructura del disco alrededor de acretores fuertemente magnéticos: una solución de disco completo con difusividad turbulenta". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 299 (1): 31. Código bibliográfico : 1998MNRAS.299...31C. doi : 10.1046/j.1365-8711.1998.01576.x .
18. Liffman, Kurt; Bardou, Anne (octubre de 1999). "Una altura de escala magnética: el efecto de los campos magnéticos toroidales sobre el espesor de los discos de acreción". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 309 (2): 443. Código bibliográfico : 1999MNRAS.309..443L. doi : 10.1046/j.1365-8711.1999.02852.x .