algoritmo de Borwein

El algoritmo de Borwein fue ideado por Jonathan y Peter Borwein para calcular el valor de . Este y otros algoritmos se pueden encontrar en el libro Pi and the AGM – A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . ^[1] $1/\pi$

Serie Ramanujan-Sato

Estos dos son ejemplos de una serie Ramanujan-Sato . El algoritmo de Chudnovsky relacionado utiliza un discriminante con clase número 1.

Clase número 2 (1989)

Comience configurando ^[2]

{\begin{aligned}A&=212175710912{\sqrt {61}}+1657145277365\\B&=13773980892672{\sqrt {61}}+107578229802750\\C&=\left(5280\left(236674+30303{\sqrt {61}}\right)\right)^{3}\end{aligned}}

Entonces

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!\,(A+nB)}{(n!)^{3}(3n)!\,C^{n+{\frac {1}{2}}}}}

Cada término adicional de la suma parcial produce aproximadamente 25 dígitos.

Clase número 4 (1993)

Comience configurando ^[3]

{\begin{aligned}A={}&63365028312971999585426220\\&{}+28337702140800842046825600{\sqrt {5}}\\&{}+384{\sqrt {5}}{\big (}10891728551171178200467436212395209160385656017\\&{}+\left.4870929086578810225077338534541688721351255040{\sqrt {5}}\right)^{\frac {1}{2}}\\B={}&7849910453496627210289749000\\&{}+3510586678260932028965606400{\sqrt {5}}\\&{}+2515968{\sqrt {3110}}{\big (}6260208323789001636993322654444020882161\\&{}+\left.2799650273060444296577206890718825190235{\sqrt {5}}\right)^{\frac {1}{2}}\\C={}&-214772995063512240\\&{}-96049403338648032{\sqrt {5}}\\&{}-1296{\sqrt {5}}{\big (}10985234579463550323713318473\\&{}+\left.4912746253692362754607395912{\sqrt {5}}\right)^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}

Entonces

{\frac {\sqrt {-C^{3}}}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {(6n)!}{(3n)!(n!)^{3}}}{\frac {A+nB}{C^{3n}}}}

Cada término adicional de la serie produce aproximadamente 50 dígitos.

Algoritmos iterativos

Convergencia cuadrática (1984)

Comience configurando ^[4]

{\begin{aligned}a_{0}&={\sqrt {2}}\\b_{0}&=0\\p_{0}&=2+{\sqrt {2}}\end{aligned}}

Luego iterar

{\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {{\sqrt {a_{n}}}+{\frac {1}{\sqrt {a_{n}}}}}{2}}\\b_{n+1}&={\frac {(1+b_{n}){\sqrt {a_{n}}}}{a_{n}+b_{n}}}\\p_{n+1}&={\frac {(1+a_{n+1})\,p_{n}b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\end{aligned}}

Entonces p _k converge cuadráticamente a $π$ ; es decir, cada iteración aproximadamente duplica el número de dígitos correctos. El algoritmo no se autocorrige; cada iteración debe realizarse con el número deseado de dígitos correctos para obtener el resultado final de $π .$

Convergencia cúbica (1991)

Comience configurando

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{3}}\\s_{0}&={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\end{aligned}}

Luego iterar

{\begin{aligned}r_{k+1}&={\frac {3}{1+2\left(1-s_{k}^{3}\right)^{\frac {1}{3}}}}\\s_{k+1}&={\frac {r_{k+1}-1}{2}}\\a_{k+1}&=r_{k+1}^{2}a_{k}-3^{k}\left(r_{k+1}^{2}-1\right)\end{aligned}}

Entonces a _k converge cúbicamente a1/ $π$ ; es decir, cada iteración aproximadamente triplica el número de dígitos correctos.

Convergencia cuartica (1985)

Comience configurando ^[5]

{\begin{aligned}a_{0}&=2\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\\y_{0}&={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}

Luego iterar

{\begin{aligned}y_{k+1}&={\frac {1-\left(1-y_{k}^{4}\right)^{\frac {1}{4}}}{1+\left(1-y_{k}^{4}\right)^{\frac {1}{4}}}}\\a_{k+1}&=a_{k}\left(1+y_{k+1}\right)^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}\left(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2}\right)\end{aligned}}

Entonces a _k converge cuárticamente contra1/ $π$ ; es decir, cada iteración aproximadamente cuadriplica el número de dígitos correctos. El algoritmo no se autocorrige; cada iteración debe realizarse con el número deseado de dígitos correctos para obtener el resultado final de $π .$

Una iteración de este algoritmo equivale a dos iteraciones del algoritmo de Gauss-Legendre . Puede encontrar una prueba de estos algoritmos aquí: ^[6]

Convergencia quíntica

Comience configurando

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{2}}\\s_{0}&=5\left({\sqrt {5}}-2\right)={\frac {5}{\phi ^{3}}}\end{aligned}}

¿Dónde está la proporción áurea ? Luego iterar $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

{\begin{aligned}x_{n+1}&={\frac {5}{s_{n}}}-1\\y_{n+1}&=\left(x_{n+1}-1\right)^{2}+7\\z_{n+1}&=\left({\frac {1}{2}}x_{n+1}\left(y_{n+1}+{\sqrt {y_{n+1}^{2}-4x_{n+1}^{3}}}\right)\right)^{\frac {1}{5}}\\a_{n+1}&=s_{n}^{2}a_{n}-5^{n}\left({\frac {s_{n}^{2}-5}{2}}+{\sqrt {s_{n}\left(s_{n}^{2}-2s_{n}+5\right)}}\right)\\s_{n+1}&={\frac {25}{\left(z_{n+1}+{\frac {x_{n+1}}{z_{n+1}}}+1\right)^{2}s_{n}}}\end{aligned}}

Entonces a _k converge quínticamente a1/ $π$ (es decir, cada iteración aproximadamente quintuplica el número de dígitos correctos) y se cumple la siguiente condición:

0<a_{n}-{\frac {1}{\pi }}<16\cdot 5^{n}\cdot e^{-5^{n}}\pi \,\!

Convergencia nonica

Comience configurando

{\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{3}}\\r_{0}&={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\\s_{0}&=\left(1-r_{0}^{3}\right)^{\frac {1}{3}}\end{aligned}}

Luego iterar

{\begin{aligned}t_{n+1}&=1+2r_{n}\\u_{n+1}&=\left(9r_{n}\left(1+r_{n}+r_{n}^{2}\right)\right)^{\frac {1}{3}}\\v_{n+1}&=t_{n+1}^{2}+t_{n+1}u_{n+1}+u_{n+1}^{2}\\w_{n+1}&={\frac {27\left(1+s_{n}+s_{n}^{2}\right)}{v_{n+1}}}\\a_{n+1}&=w_{n+1}a_{n}+3^{2n-1}\left(1-w_{n+1}\right)\\s_{n+1}&={\frac {\left(1-r_{n}\right)^{3}}{\left(t_{n+1}+2u_{n+1}\right)v_{n+1}}}\\r_{n+1}&=\left(1-s_{n+1}^{3}\right)^{\frac {1}{3}}\end{aligned}}

Entonces a _k converge noónicamente a1/ $π$ ; es decir, cada iteración multiplica aproximadamente el número de dígitos correctos por nueve. ^[7]

Ver también

Referencias

^ Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi and the AGM - A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity , Wiley, Nueva York, 1987. Muchos de sus resultados están disponibles en: Jorg Arndt, Christoph Haenel, Pi Unleashed, Springer, Berlín, 2001, ISBN 3-540-66572-2
^ Bailey, David H (1 de abril de 2023). "Peter Borwein: un matemático visionario". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 70 (04): 610–613. doi :10.1090/noti2675. ISSN 0002-9920.
^ Borwein, JM; Borwein, PB (1993). "Clase número tres, serie tipo Ramanujan para 1/π". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 46 (1–2): 281–290. doi : 10.1016/0377-0427(93)90302-R .
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (1998). $π$ desatado . Springer-Verlag. pag. 236.ISBN 3-540-66572-2.
^ Mak, Ronald (2003). La guía para programadores de Java para la computación numérica . Pearson Educativo. pag. 353.ISBN 0-13-046041-9.
^ Milla, Lorenz (2019), Prueba sencilla de tres algoritmos $π$ recursivos , arXiv : 1907.04110
^ Henrik Vestermark (4 de noviembre de 2016). "Implementación práctica de Algoritmos π" (PDF) . Consultado el 29 de noviembre de 2020 .

enlaces externos

Fórmulas Pi de Wolfram MathWorld