Algoritmo de Vinberg

En matemáticas, el algoritmo de Vinberg es un algoritmo, introducido por Ernest Borisovich Vinberg , para encontrar un dominio fundamental de un grupo de reflexión hiperbólica .

Conway (1983) utilizó el algoritmo de Vinberg para describir el grupo de automorfismos de la red lorentziana unimodular par de 26 dimensiones II _25,1 en términos de la red Leech .

Descripción del algoritmo

Sea un grupo de reflexión hiperbólico. Elijamos cualquier punto ; lo llamaremos punto básico (o inicial). El dominio fundamental de su estabilizador es un cono poliédrico en . Sean las caras de este cono y sean vectores normales exteriores a él. Consideremos los semiespacios ${\displaystyle \Gamma <\mathrm {Isom} (\mathbb {H} ^{n})}$ ${\displaystyle v_{0}\in \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{v_{0}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{1},...,H_{m}}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{m}}$ ${\displaystyle H_{k}^{-}=\{x\in \mathbb {R} ^{n,1}|(x,a_{k})\leq 0\}.}$

Existe un único poliedro fundamental de contenido en y que contiene al punto . Sus caras que lo contienen están formadas por caras del cono . Las otras caras y las normales exteriores correspondientes se construyen por inducción. Es decir, para tomamos un espejo tal que la raíz ortogonal a él satisface las condiciones ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle H_{1},...,H_{m}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle H_{m+1},...}$ ${\displaystyle a_{m+1},...}$ ${\displaystyle H_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}}$

(1) ; ${\displaystyle (v_{0},a_{j})<0}$

(2) para todos ; ${\displaystyle (a_{i},a_{j})\leq 0}$ ${\displaystyle i<j}$

(3) la distancia es mínima sujeta a las restricciones (1) y (2). ${\displaystyle (v_{0},H_{j})}$

Referencias

• Conway, John Horton (1983), "El grupo de automorfismos de la red lorentziana unimodular de 26 dimensiones", Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN  0021-8693, MR  0690711
• Vinberg, È. B. (1975), "Algunos grupos discretos aritméticos en espacios de Lobačevskiĭ", en Baily, Walter L. (ed.), Subgrupos discretos de grupos de Lie y aplicaciones a módulos (Internat. Colloq., Bombay, 1973), Oxford University Press , pp. 323–348, ISBN 978-0-19-560525-9, Sr.  0422505