En análisis numérico , el algoritmo de Bulirsch–Stoer es un método para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias que combina tres ideas poderosas: la extrapolación de Richardson , el uso de la extrapolación de funciones racionales en aplicaciones de tipo Richardson y el método del punto medio modificado, [1] para obtener soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con alta precisión y comparativamente poco esfuerzo computacional. Lleva el nombre de Roland Bulirsch y Josef Stoer . A veces se lo llama algoritmo de Gragg–Bulirsch–Stoer (GBS) debido a la importancia de un resultado sobre la función de error del método del punto medio modificado, debido a William B. Gragg .
La idea de la extrapolación de Richardson es considerar un cálculo numérico cuya precisión depende del tamaño de paso h utilizado como una función analítica (desconocida) del tamaño de paso h , realizar el cálculo numérico con varios valores de h , ajustar una función analítica (elegida) a los puntos resultantes y luego evaluar la función de ajuste para h = 0, tratando así de aproximar el resultado del cálculo con pasos infinitamente finos.
Bulirsch y Stoer reconocieron que el uso de funciones racionales como funciones de ajuste para la extrapolación de Richardson en la integración numérica es superior al uso de funciones polinómicas porque las funciones racionales pueden aproximarse a funciones con polos bastante bien (en comparación con las funciones polinómicas), siempre que haya suficientes términos de mayor potencia en el denominador para dar cuenta de los polos cercanos. Si bien una interpolación o extrapolación polinómica solo produce buenos resultados si el polo más cercano está bastante alejado de un círculo alrededor de los puntos de datos conocidos en el plano complejo, la interpolación o extrapolación de funciones racionales puede tener una precisión notable incluso en presencia de polos cercanos.
El método del punto medio modificado por sí mismo es un método de segundo orden y, por lo tanto, generalmente inferior a los métodos de cuarto orden como el método de Runge-Kutta de cuarto orden . Sin embargo, tiene la ventaja de requerir solo una evaluación de derivada por subpaso (asintóticamente para una gran cantidad de subpasos) y, además, como descubrió Gragg, el error de un paso de punto medio modificado de tamaño H , que consta de n subpasos de tamaño h = H / n cada uno, y expresado como una serie de potencias en h , contiene solo potencias pares de h . Esto hace que el método del punto medio modificado sea extremadamente útil para el método de Bulirsch-Stoer, ya que la precisión aumenta dos órdenes a la vez cuando se combinan los resultados de intentos separados de cruzar el intervalo H con un número creciente de subpasos.
Hairer, Nørsett y Wanner (1993, p. 228), en su análisis del método, afirman que la extrapolación racional en este caso casi nunca supone una mejora con respecto a la interpolación polinómica (Deuflhard 1983). Además, el método del punto medio modificado es una modificación del método del punto medio regular para hacerlo más estable, pero debido a la extrapolación esto no importa realmente (Shampine y Baca 1983).