Elemento compacto

En el área matemática de la teoría del orden , los elementos compactos o elementos finitos de un conjunto parcialmente ordenado son aquellos elementos que no pueden ser subsumidos por un supremo de cualquier conjunto dirigido no vacío que no contenga ya miembros por encima del elemento compacto. Esta noción de compacidad generaliza simultáneamente las nociones de conjuntos finitos en teoría de conjuntos , conjuntos compactos en topología y módulos finitamente generados en álgebra . (Existen otras nociones de compacidad en matemáticas).

Definicion formal

En un conjunto parcialmente ordenado ( P ,≤) un elemento c se llama compacto (o finito ) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Para cada subconjunto dirigido D de P , si D tiene un supremo sup D y c ≤ sup D entonces c ≤ d para algún elemento d de D .
• Para cada ideal I de P , si I tiene un supremo sup I y c ≤ sup I entonces c es un elemento de I.

Si el poset P además es una semirretícula de unión (es decir, si tiene suprema binaria), entonces estas condiciones son equivalentes a la siguiente afirmación:

• Para cada subconjunto S de P , si S tiene un supremo sup S y c ≤ sup S , entonces c ≤ sup T para algún subconjunto finito T de S.

En particular, si c = sup S , entonces c es el supremo de un subconjunto finito de S .

Estas equivalencias se verifican fácilmente a partir de las definiciones de los conceptos involucrados. Para el caso de una semired de unión, cualquier conjunto se puede convertir en un conjunto dirigido con el mismo supremo cerrándolo bajo una suprema finita (no vacía).

Al considerar órdenes parciales completas dirigidas o retículas completas, por supuesto, se pueden eliminar los requisitos adicionales de que exista la suprema especificada. Una semired de unión que está dirigida completa es casi una red completa (posiblemente sin un elemento mínimo ); consulte completitud (teoría del orden) para obtener más detalles.

Ejemplos

• El ejemplo más básico se obtiene considerando el conjunto potencia de algún conjunto A , ordenado por inclusión de subconjuntos . Dentro de esta red completa, los elementos compactos son exactamente los subconjuntos finitos de A. Esto justifica el nombre de "elemento finito".
• El término "compacto" está inspirado en la definición de subconjuntos (topológicamente) compactos de un espacio topológico T. Un conjunto Y es compacto si para cada colección de conjuntos abiertos S , si la unión sobre S incluye Y como subconjunto, entonces Y se incluye como subconjunto de la unión de una subcolección finita de S. Considerando el conjunto potencia de T como una red completa con el orden de inclusión de subconjuntos, donde el supremo de una colección de conjuntos está dado por su unión, la condición topológica para la compacidad imita la condición para la compacidad en semiredes unidas, pero por el requisito adicional de apertura.
• Si existe, el elemento mínimo de un poset siempre es compacto. Puede ser que este sea el único elemento compacto, como muestra el ejemplo del intervalo unitario real [0,1] (con el orden estándar heredado de los números reales).
• Cada elemento de una red completamente unido es compacto.

poses algebraicas

Un poset en el que cada elemento es el supremo del conjunto dirigido formado por los elementos compactos debajo de él se llama poset algebraico . Estos posets que son dcpos se utilizan mucho en la teoría de dominios .

Como caso especial importante, una red algebraica es una red completa L donde cada elemento x de L es el supremo de los elementos compactos debajo de x .

Un ejemplo típico (que sirvió de motivación para el nombre "algebraico") es el siguiente:

Para cualquier álgebra A (por ejemplo, un grupo, un anillo, un campo, una red, etc.; o incluso un simple conjunto sin ninguna operación), sea Sub( A ) el conjunto de todas las subestructuras de A , es decir, de todos los subconjuntos de A que están cerrados bajo todas las operaciones de A (suma de grupos, suma y multiplicación de anillos, etc.). Aquí la noción de subestructura incluye la subestructura vacía en caso de que el álgebra A no tenga operaciones nulas.

Entonces:

• El conjunto Sub( A ), ordenado por inclusión de conjuntos, es una red.
• El mayor elemento de Sub( A ) es el propio conjunto A.
• Para cualquier S , T en Sub( A ), el mayor límite inferior de S y T es la intersección teórica de conjuntos de S y T ; el límite superior más pequeño es la subálgebra generada por la unión de S y T.
• El conjunto Sub( A ) es incluso una red completa. El mayor límite inferior de cualquier familia de subestructuras es su intersección (o A si la familia está vacía).
• Los elementos compactos de Sub( A ) son exactamente las subestructuras finitamente generadas de A .
• Cada subestructura es la unión de sus subestructuras finitamente generadas; por tanto, Sub( A ) es una red algebraica.

Además, se cumple una especie de recíproco: toda red algebraica es isomorfa a Sub( A ) para algún álgebra A .

Hay otra red algebraica que juega un papel importante en el álgebra universal : para cada álgebra A dejamos que Con( A ) sea el conjunto de todas las relaciones de congruencia en A. Cada congruencia en A es una subálgebra del álgebra del producto A x A , por lo que Con( A ) ⊆ Sub( A x A ). De nuevo tenemos

• Con( A ), ordenado por inclusión de conjuntos, es una red.
• El mayor elemento de Con( A ) es el conjunto A x A , que es la congruencia correspondiente al homomorfismo constante. La congruencia más pequeña es la diagonal de A x A , correspondiente a los isomorfismos.
• Con( A ) es una red completa.
• Los elementos compactos de Con( A ) son exactamente las congruencias generadas finitamente.
• Con( A ) es una red algebraica.

Nuevamente ocurre lo contrario: según un teorema de George Grätzer y ET Schmidt, toda red algebraica es isomorfa a Con( A ) para algún álgebra A .

Aplicaciones

Los elementos compactos son importantes en informática en el enfoque semántico llamado teoría de dominio , donde se consideran como una especie de elemento primitivo : la información representada por elementos compactos no puede obtenerse mediante ninguna aproximación que no contenga ya este conocimiento. Los elementos compactos no pueden aproximarse a elementos estrictamente inferiores a ellos. Por otra parte, puede ocurrir que todos los elementos no compactos puedan obtenerse como supremas dirigidas de elementos compactos. Esta es una situación deseable, ya que el conjunto de elementos compactos suele ser más pequeño que el conjunto original; los ejemplos anteriores ilustran esto.

Literatura

Consulte la literatura proporcionada para la teoría del orden y la teoría del dominio .