Álgebra de conjuntos

Identidades y relaciones que involucran conjuntos

En matemáticas , el álgebra de conjuntos , que no debe confundirse con la estructura matemática de un álgebra de conjuntos , define las propiedades y leyes de los conjuntos , las operaciones de unión , intersección y complementación de la teoría de conjuntos y las relaciones de igualdad e inclusión de conjuntos . También proporciona procedimientos sistemáticos para evaluar expresiones y realizar cálculos que involucren estas operaciones y relaciones.

Cualquier conjunto de conjuntos cerrados bajo las operaciones de teoría de conjuntos forma un álgebra booleana donde el operador de unión es unión , el operador de encuentro es intersección , el operador de complemento es complemento de conjunto , el inferior es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ y el superior es el conjunto universal en consideración.

Fundamentos

El álgebra de conjuntos es el análogo teórico de conjuntos del álgebra de números. Así como la suma y la multiplicación aritméticas son asociativas y conmutativas , también lo son la unión y la intersección de conjuntos; así como la relación aritmética "menor o igual que" es reflexiva , antisimétrica y transitiva , también lo es la relación de conjuntos de "subconjunto".

Es el álgebra de las operaciones de unión, intersección y complementación de la teoría de conjuntos, y de las relaciones de igualdad e inclusión. Para una introducción básica a los conjuntos, véase el artículo sobre conjuntos ; para una explicación más completa, véase la teoría ingenua de conjuntos ; y para un tratamiento axiomático riguroso y completo, véase la teoría axiomática de conjuntos .

Propiedades fundamentales del álgebra de conjuntos

Las operaciones binarias de unión ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cup }$ ) e intersección ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cap }$ ) satisfacen muchas identidades . Varias de estas identidades o "leyes" tienen nombres bien establecidos. ^[2]

Propiedad conmutativa :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

Propiedad asociativa :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

Propiedad distributiva :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

La unión y la intersección de conjuntos pueden considerarse análogas a la suma y multiplicación de números. Al igual que la suma y la multiplicación, las operaciones de unión e intersección son conmutativas y asociativas, y la intersección se distribuye sobre la unión. Sin embargo, a diferencia de la suma y la multiplicación, la unión también se distribuye sobre la intersección.

Dos pares adicionales de propiedades involucran los conjuntos especiales llamados el conjunto vacío ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ y el conjunto universo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ; junto con el operador de complemento ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle A^{\complement }}$ denota el complemento de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ . Esto también puede escribirse como ⁠ ⁠ ${\displaystyle A'}$ , leído como "Un primo"). El conjunto vacío no tiene miembros, y el conjunto universo tiene todos los miembros posibles (en un contexto particular).

Identidad:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap {\boldsymbol {U}}=A}$

Complementar:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$

Las expresiones identidad (junto con las expresiones conmutativas) dicen que, al igual que 0 y 1 para la suma y la multiplicación, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ son los elementos identidad para la unión y la intersección, respectivamente.

A diferencia de la suma y la multiplicación, la unión y la intersección no tienen elementos inversos . Sin embargo, las leyes del complemento proporcionan las propiedades fundamentales de la operación unaria de complementación de conjuntos, que es algo similar a la inversa .

Los cinco pares de fórmulas anteriores (conmutativa, asociativa, distributiva, de identidad y de complemento) abarcan todo el álgebra de conjuntos, en el sentido de que toda proposición válida en el álgebra de conjuntos puede derivarse de ellas.

Nótese que si las fórmulas del complemento se debilitan a la regla ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$ , entonces esta es exactamente el álgebra de la lógica lineal proposicional ^{[ aclaración necesaria ]} .

Principio de dualidad

Cada una de las identidades enunciadas anteriormente es una de un par de identidades tales que cada una puede transformarse en la otra intercambiando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cup }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cap }$ , mientras que también se intercambian ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ .

Estos son ejemplos de una propiedad extremadamente importante y poderosa del álgebra de conjuntos, a saber, el principio de dualidad para conjuntos, que afirma que para cualquier enunciado verdadero sobre conjuntos, el enunciado dual obtenido al intercambiar uniones e intersecciones, intercambiar ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ e invertir inclusiones también es verdadero. Se dice que un enunciado es autodual si es igual a su propio dual.

Algunas leyes adicionales para uniones e intersecciones

La siguiente proposición enuncia seis leyes más importantes del álgebra de conjuntos, que involucran uniones e intersecciones.

PROPOSICIÓN 3 : Para cualesquiera subconjuntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ de un conjunto del universo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ , se cumplen las siguientes identidades:

leyes idempotentes :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup A=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap A=A}$

leyes de dominación:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

leyes de absorción :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

Como se señaló anteriormente, cada una de las leyes enunciadas en la proposición 3 puede derivarse de los cinco pares fundamentales de leyes enunciados anteriormente. A modo de ejemplo, se ofrece a continuación una prueba de la ley idempotente para la unión.

Prueba:

La siguiente prueba ilustra que el dual de la prueba anterior es la prueba del dual de la ley idempotente para la unión, es decir, la ley idempotente para la intersección.

Prueba:

La intersección se puede expresar en términos de diferencia de conjuntos:

⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

Algunas leyes adicionales para los complementos

La siguiente proposición enuncia cinco leyes más importantes del álgebra de conjuntos, que involucran complementos.

PROPOSICIÓN 4 : Sean ⁠ ⁠ y ${\displaystyle A}$ ⁠ ⁠ subconjuntos ${\displaystyle B}$de un universo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ , entonces:

Leyes de De Morgan :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

ley de doble complemento o involución :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

Leyes complementarias para el conjunto universo y el conjunto vacío:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$

Obsérvese que la ley del doble complemento es autodual.

La siguiente proposición, que también es autodual, dice que el complemento de un conjunto es el único conjunto que satisface las leyes del complemento. En otras palabras, la complementación se caracteriza por las leyes del complemento.

PROPOSICIÓN 5 : Sean ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ subconjuntos de un universo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ , entonces:

Unicidad de los complementos:

• Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ , entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle B=A^{\complement }}$

Álgebra de inclusión

La siguiente proposición dice que la inclusión , es decir la relación binaria de un conjunto siendo un subconjunto de otro, es un orden parcial .

PROPOSICIÓN 6 : Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$ son conjuntos entonces se cumple lo siguiente:

reflexividad :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq A}$

antisimetría :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq A}$ si y sólo si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A=B}$

transitividad :

• Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq C}$ , entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq C}$

La siguiente proposición dice que para cualquier conjunto S , el conjunto potencia de S , ordenado por inclusión, es una red acotada y, por lo tanto, junto con las leyes distributiva y complementaria anteriores, muestra que es un álgebra de Boole .

PROPOSICIÓN 7 : Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$ son subconjuntos de un conjunto ⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$ entonces se cumple lo siguiente:

Existencia de un elemento mínimo y un elemento máximo :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$

existencia de uniones :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq C}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq C}$ , entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

Existencia de encuentros :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq B}$ , entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

La siguiente proposición dice que el enunciado ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$ es equivalente a varios otros enunciados que involucran uniones, intersecciones y complementos.

PROPOSICIÓN 8 : Para dos conjuntos cualesquiera ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , los siguientes son equivalentes:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$

La proposición anterior muestra que la relación de inclusión de conjuntos puede caracterizarse mediante cualquiera de las operaciones de unión de conjuntos o de intersección de conjuntos, lo que significa que la noción de inclusión de conjuntos es axiomáticamente superflua.

Álgebra de complementos relativos

La siguiente proposición enumera varias identidades relativas a complementos relativos y diferencias en la teoría de conjuntos.

PROPOSICIÓN 9 : Para cualquier universo y subconjuntos ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ , y ${\displaystyle A}$ de , se cumplen las ${\displaystyle B}$ siguientes identidades : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$

Véase también

• El σ-álgebra es un álgebra de conjuntos, completada para incluir operaciones infinitas contables.
• Teoría de conjuntos axiomáticos
• Imagen (matemáticas) § Propiedades
• Campo de conjuntos
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos ingenua
• Conjunto (matemáticas)
• Espacio topológico : un subconjunto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wp (X)}$ , el conjunto potencia de ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ , cerrado con respecto a unión arbitraria, intersección finita y que contiene a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ .

Referencias

1. Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton: Nostrand.Aquí: Sección 4
2. Muchos matemáticos ^[1] suponen que todas las operaciones de conjuntos tienen la misma prioridad y hacen un uso completo de los paréntesis. Lo mismo hace este artículo.

• Stoll, Robert R.; Teoría de conjuntos y lógica , Mineola, NY: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4 . "El álgebra de conjuntos", págs. 16-23. 
• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de ideas y métodos , Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 . "SUPLEMENTO AL CAPÍTULO II EL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS". 

Enlaces externos

• Operaciones con conjuntos en ProvenMath